[论文解读] Solving an inverse elliptic coefficient problem by convex non-linear semidefinite programming

Bastian Harrach|arXiv (Cornell University)|May 24, 2021

Numerical methods in inverse problems参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文提出了一种凸非线性半定规划公式，用于求解具有有限次测量的反椭圆系数问题，特别是罗宾传输问题。通过利用诺伊曼-狄利克雷算子的单调性和凸性，证明了反问题可等价地重新表述为一个唯一可解的凸优化问题，消除了局部极小值，并通过洛伦茨序实现了显式误差估计和测量次数准则。

ABSTRACT

Several applications in medical imaging and non-destructive material testing lead to inverse elliptic coefficient problems, where an unknown coefficient function in an elliptic PDE is to be determined from partial knowledge of its solutions. This is usually a highly non-linear ill-posed inverse problem, for which unique reconstructability results, stability estimates and global convergence of numerical methods are very hard to achieve. The aim of this note is to point out a new connection between inverse coefficient problems and semidefinite programming that may help addressing these challenges. We show that an inverse elliptic Robin transmission problem with finitely many measurements can be equivalently rewritten as a uniquely solvable convex non-linear semidefinite optimization problem. This allows to explicitly estimate the number of measurements that is required to achieve a desired resolution, to derive an error estimate for noisy data, and to overcome the problem of local minima that usually appears in optimization-based approaches for inverse coefficient problems.

研究动机与目标

• 解决基于优化的反系数问题中的局部极小值挑战。
• 为具有有限次测量的反椭圆系数问题提供一种全局收敛的凸重构形式。
• 推导出实现所需分辨率所必需的测量次数的显式准则。
• 为反系数问题中的噪声数据推导误差估计。
• 建立半定规划与反系数问题之间的联系，提供一种新的理论与计算框架。

提出的方法

• 将反罗宾传输问题表述为一个有限维反问题，涉及将系数向量映射到对称矩阵的矩阵值函数 F。
• 利用诺伊曼-狄利克雷算子 Λ(γ) 的弗雷chet可微性、凸性和单调性，确保 F 所需的性质。
• 基于洛伦茨序建立充分准则：若对所有 j,k 有 F′(zj,k)dj ≺ 0，则反问题可通过凸优化唯一求解。
• 将反问题重新表述为一个凸半定规划问题，即在 F(γ) ⪯ Y 的约束下最小化系数向量的 ℓ¹-范数。
• 利用方向导数的谱范数和特征值分析，推导稳定性与误差界。
• 通过逐步增加测量次数，迭代应用该准则，直至满足方向导数条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个非凸的反椭圆系数问题能否在有限次测量下被重新表述为凸优化问题？
• RQ2 为实现给定分辨率的系数唯一重构，所需的最少测量次数是多少？
• RQ3 所提出的方法能否消除传统基于优化方法中常见的局部极小值问题？
• RQ4 如何为反系数问题中的噪声测量推导误差估计？
• RQ5 洛伦茨序与单调性在实现反问题凸重构中起到什么作用？

主要发现

• 具有有限次测量的反罗宾传输问题可等价地重新表述为一个唯一可解的凸非线性半定规划问题。
• 基于前向算子方向导数的充分准则被推导出来，可通过计算有限个前向解在数值上进行验证。
• 通过逐步增加 m 直至满足准则，可构造性地确定所需的测量次数。
• 对于满足 ∥Ŷ − Yδ∥₂ ≤ δ 的噪声数据，重构误差满足 ∥γ̂ − γδ∥∞ ≤ 2δ(n−1)/λ，其中 λ > 0 是方向导数最大特征值的最小值。
• 由于重构问题的凸性，该方法避免了局部极小值，且无需特殊设计的测量。
• 该框架首次建立了半定规划与反系数问题之间的显式联系，为全局收敛性和稳定性分析开辟了新途径。