[论文解读] Solving boolean satisfiability problems with the quantum approximate optimization algorithm

Sami Boulebnane, Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 18

一句话总结

本文分析了量子近似优化算法（QAOA）在求解随机k-SAT问题（一类困难的约束满足问题）时的性能。通过解析边界和数值模拟，研究表明：当QAOA使用14层时，其在8-SAT问题上的指数缩放性能与最佳经典求解器WalkSATlm相当；当层数更多时，其性能更优，表明在使用固定参数的场景下，该问题中可能存在潜在的量子优势。

ABSTRACT

The quantum approximate optimization algorithm (QAOA) is one of the most prominent proposed applications for near-term quantum computing. Here we study the ability of QAOA to solve hard constraint satisfaction problems, as opposed to optimization problems. We focus on the fundamental boolean satisfiability problem, in the form of random $k$-SAT. We develop analytic bounds on the average success probability of QAOA over random boolean formulae at the satisfiability threshold, as the number of variables $n$ goes to infinity. The bounds hold for fixed parameters and when $k$ is a power of 2. We complement these theoretical results with numerical results on the performance of QAOA for small $n$, showing that these match the limiting theoretical bounds closely. We then use these results to compare QAOA with leading classical solvers. In the case of random 8-SAT, we find that for around 14 ansatz layers, QAOA matches the scaling performance of the highest-performance classical solver we tested, WalkSATlm. For larger numbers of layers, QAOA outperforms WalkSATlm, with an ultimate level of advantage that is still to be determined. Our methods provide a framework for analysing the performance of QAOA for hard constraint satisfaction problems and finding further speedups over classical algorithms.

研究动机与目标

• 评估QAOA在常数深度和固定变分参数下求解困难约束满足问题（特别是随机k-SAT）的性能。
• 提出一种解析方法，用于估计在无限尺寸极限下，QAOA在随机k-SAT实例上的平均成功概率。
• 通过与领先经典求解器（特别是WalkSATlm）的对比，评估QAOA的缩放行为，以判断潜在的量子优势。
• 通过将解析方法与小规模模拟的实证结果进行比较，验证该方法的有效性，并评估经验确定的变分角度的最优性。

提出的方法

• 推导出在可满足性阈值下，针对固定参数且k为2的幂时，随机k-SAT问题的QAOA平均成功概率的解析边界。
• 提出一种严格算法实现的解析方法，证明其在变分参数足够小时成立，从而可高效评估最多p=10层的QAOA成功概率。
• 采用一种简单经验方法——对小实例（n=12）的平均成功概率进行采样，以估计最优变分参数，结果表明其与解析预测高度一致。
• 在解析公式上应用梯度下降法进行参数再优化，以评估经验获得的角度与真实最优值的接近程度。
• 对QAOA和经典求解器的运行时数据进行指数拟合，以比较缩放指数，使用相关系数和误差估计。
• 应用光锥论证，解释常数深度QAOA中成功概率的指数衰减行为，该行为与量子和经典算法在困难实例上的表现一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 解析方法能否准确预测在无限尺寸极限下，QAOA在随机k-SAT问题上的平均成功概率？
• RQ2 在8-SAT问题中，使用固定参数的QAOA与WalkSATlm等经典求解器相比，其指数缩放性能如何？
• RQ3 在小实例上经验确定的变分参数是否接近解析方法预测的最优参数？
• RQ4 随着量子电路深度增加，QAOA是否最终在运行时缩放性能上超越最佳经典求解器？
• RQ5 QAOA的成功概率在理论和实证上如何随问题规模和层数变化？

主要发现

• 对于8-SAT问题，当QAOA使用14层时，其运行时缩放的指数系数与最佳经典求解器WalkSATlm相当。
• 当层数超过14层时，QAOA的性能优于WalkSATlm，显示出潜在的量子优势，其运行时缩放优势尚未完全量化。
• 用于估计成功概率的解析方法与数值模拟结果高度一致，即使在中等层数（最多p=10）时也表现良好，验证了其在性能预测中的有效性。
• 在小实例（n=12）上经验确定的变分参数与解析方法预测的最优参数相差仅几个百分点，表明经验训练方法极为有效。
• 在再优化过程中，成功概率指数和变分角度的相对变化较小（仅几个百分点），表明经验参数接近最优。
• 经典求解器如Glucose3、Glucose4和MiniSat22的缩放指数相近（约0.50–0.53），而WalkSATlm表现最佳，指数为0.325；QAOA在更高层数时可匹配并超越该指数。