[论文解读] Solving Challenging Large Scale QAPs

Koichi Fujii, Naoki Ito+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Optimization and Packing Problems参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文提出一种基于牛顿夹逼法的并行分支定界算法，用于拉格朗日双非负松弛求解大规模的二次分配问题（QAP）。通过在超过10万个核心上利用Ubiquity Generator（UG）框架，该方法获得了紧致的下界，并首次成功求解了QAPLIB中此前未解决的实例tai30a和sko42。

ABSTRACT

We report our progress on the project for solving larger scale quadratic assignment problems (QAPs). Our main approach to solve large scale NP-hard combinatorial optimization problems such as QAPs is a parallel branch-and-bound method efficiently implemented on a powerful computer system using the Ubiquity Generator(UG) framework that can utilize more than 100,000 cores. Lower bounding procedures incorporated in the branch-and-bound method play a crucial role in solving the problems. For a strong lower bounding procedure, we employ the Lagrangian doubly nonnegative (DNN) relaxation and the Newton-bracketing method developed by the authors’ group. In this report, we describe some basic tools used in the project including the lower bounding procedure and branching rules, and present some preliminary numerical results. Our next target problem is QAPs with dimension at least 50, as we have succeeded to solve tai30a and sko42 from QAPLIB for the first time.

研究动机与目标

• 求解规模超过35的大型QAP实例，尽管启发式方法已取得进展，但此类问题仍具挑战性。
• 开发一种可扩展的并行分支定界框架，能够处理NP难的QAP问题。
• 通过拉格朗日双非负（DNN）松弛与牛顿夹逼法改进下界估计。
• 实现对QAPLIB中此前未解决的QAP实例（如tai30a和sko42）的精确求解。
• 展示UG框架在支持组合优化中大规模并行计算方面的有效性。

提出的方法

• 在Ubiquity Generator（UG）框架上实现并行分支定界（B&B）方法，以利用超过10万个核心。
• 采用拉格朗日DNN松弛结合牛顿夹逼（NB）方法，生成紧致且可靠的下界。
• 应用基于采样的节点估计技术，在均匀性假设下预测B&B树中的节点数量。
• 实现三种分支规则——M（最小成本）、P（基于排列）和D（基于对偶）——以比较节点数量的估计值。
• 利用NB方法获得的对偶可行解，确保下界的有效性。
• 结合NB方法的下界估计与上界估计及剪枝策略，以加速收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 与BBCPOP和ADMM等现有DNN求解器相比，牛顿夹逼法是否能显著提升大规模QAP问题的下界估计？
• RQ2 基于UG框架的并行B&B框架能否扩展至超过10万个核心，以求解此前难以处理的QAP实例？
• RQ3 不同的分支规则（M、P、D）如何影响大规模QAP问题中B&B树的节点数量估计？
• RQ4 使用精确方法求解维度≥50的QAP实例在计算上是否可行？
• RQ5 所提出的方法能否实现tai30a和sko42的精确求解，而这些实例此前一直未被解决？

主要发现

• 对于较大规模实例（n ≥ 60），牛顿夹逼法生成的下界优于BBCPOP和ADMM，尤其在tai60a和tai80a实例上表现更优。
• 该方法首次成功求解了QAPLIB中的tai30a和sko42实例，标志着精确求解QAP问题的重要进展。
• 对于tai30a，估计的节点数为4250万，实际生成的节点数为3400万，显示出极高的估计准确性。
• 在大多数情况下，分支规则D产生的节点估计值最小，表明其具有更高的剪枝效率。
• 基于采样的节点估计方法提供了可靠的预测，实际节点数始终不超过估计值的3倍。
• 该方法在UG框架上表现出良好的可扩展性，实现了超过10万个核心的大规模并行计算，成功求解了此前未解决的实例。