[论文解读] Solving delay differential equations via Sumudu transform

Mathew O. Aibinu, Surendra Thakur+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2021

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 38被引用 9

一句话总结

本文提出了一种新颖的积分变换方法——Sumudu变换法（STM），用于求解具有变系数和多重比例延迟的非线性泛函微分方程（DDEs）的潘托格方程型问题。通过将变分迭代法与Sumudu变换相结合，作者高效地推导出精确解与近似解，借助说明性实例展示了计算复杂度降低与高精度，包括收敛至精确解 $ e^x $ 的结果。该方法在无需线性化或摄动处理的前提下，成功求解了非线性Volterra型积分微分方程。

ABSTRACT

A technique which is known as Sumudu Transform Method (STM) is studied for the construction of solutions of a most general form of delay differential equations of pantograph type. This is a pioneer study on using the STM to construct the solutions of delay differential equations of pantograph type with variable coefficients. We obtain the exact and approximate solutions of nonlinear problems with multiproportional delays and variable coefficients. The strength of STM is illustrated in reducing the complex computational work as compared to the well-known methods. This paper shows how to succinctly identify the Lagrange multipliers for nonlinear delay differential equations with variable coefficients, using the STM. The potency and suitability of the STM are exhibited by giving expository examples. The solutions of nonlinear Volterra integro-differential equations of pantograph type are also obtained.

研究动机与目标

• 开发一种求解具有变系数的非线性潘托格型延迟微分方程（DDEs）的新方法。
• 将现有仅适用于常系数DDEs的方法扩展至处理具有多重比例延迟的更一般情形。
• 通过利用Sumudu变换的特性，降低求解DDEs的计算复杂度。
• 展示STM在构造Lagrange乘子与迭代解时的有效性，且无需线性化或摄动处理。
• 通过说明性实例验证该方法，展示其收敛至如 $ e^x $ 等精确解的能力。

提出的方法

• 通过将变分迭代法（VIM）与Sumudu变换相结合，将Sumudu变换法（STM）应用于求解具有变系数的非线性DDEs。
• 该方法利用Sumudu变换将微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程。
• 通过Sumudu变换简洁地识别Lagrange乘子，避免了复杂的迭代过程。
• 利用逆Sumudu变换构建迭代格式，初始近似为 $ y_1(x) = 1 + x $。
• 通过反复应用逆变换处理涉及 $ S[y_n^2(x/2)] $ 的表达式，逐项计算高阶项，并对高阶项（HOT）进行截断。
• 该方法保持了量纲一致性，避免了频率域变换的需要，增强了其在物理与生物建模中的适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Sumudu变换法（STM）能否有效应用于求解具有变系数和多重比例延迟的非线性潘托格型DDEs？
• RQ2 与传统方法相比，STM在处理此类问题时的计算复杂度与精度表现如何？
• RQ3 STM能否在无需线性化或摄动技术的前提下，高效识别Lagrange乘子？
• RQ4 通过STM获得的迭代解在非线性DDEs中收敛至精确解的程度如何？
• RQ5 STM能否被推广以求解非线性Volterra型潘托格型积分微分方程？

主要发现

• 迭代解 $ y_n(x) = ∑_{i=0}^{n} \frac{1}{i!}x^i $ 随 $ n \to \infty $ 收敛至精确解 $ y(x) = e^x $，验证了该方法的准确性。
• 该方法成功计算出具有多重比例延迟 $ x/2 $ 的非线性DDE的精确解 $ e^x $，其各项与泰勒级数展开一致。
• Lagrange乘子被识别为 $ \varphi(u) = -u^2 $，从而构建出系统且计算高效的迭代格式。
• 与经典方法相比，STM显著降低了计算工作量，避免了线性化与摄动假设。
• 该方法在求解非线性Volterra型潘托格型积分微分方程的精确解与近似解方面均表现有效。
• 图形结果表明，近似解与精确解高度一致，验证了该方法的可靠性与收敛性。