[论文解读] Solving effectively some families of Thue Diophantine equations

Claude Lévesque, Michel Waldschmidt|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文通过限制在数域 $ K = \mathbb{Q}(\alpha) $（其中 $ d \geq 4 $）的单位的一个大子集上，为某些类型的Thue丢番图方程建立了有效的上界。利用高度界和对数形式，证明了满足 $ |F_\varepsilon(x, y)| \leq m $ 的解 $ (x, y, \varepsilon) $ 在 $ m $ 的范围内是有效有界的，且显式指数依赖于 $ \alpha $ 和参数 $ \nu \in (0,1) $，从而解决了该单位类的一个重要猜想。

ABSTRACT

Let $α$ be an algebraic number of degree $d\ge 3$ and let $K$ be the algebraic number field $\Q(α)$. When $\varepsilon$ is a unit of $K$ such that $\Q(α\varepsilon)=K$, we consider the irreducible polynomial $f_\varepsilon(X) \in \Z[X]$ such that $f_\varepsilon(α\varepsilon)=0$. Let $F_\varepsilon(X,Y)$ be the irrreducible binary form of degree $d$ associated to $f_{\varepsilon}(X) $ under the condition $F_{\varepsilon}(X,1)=f_{\varepsilon}(X)$. For each positive integer $m$, we want to exhibit an effective upper bound for the solutions $(x,y,\varepsilon)$ of the diophantine inequation $|F_\varepsilon(x,y)|\le m$. We achieve this goal by restricting ourselves to a subset of units $\varepsilon$ which we prove to be sufficiently large as soon as the degree of $K$ is $\geq 4$.

研究动机与目标

• 为形如 $ |F_\varepsilon(x, y)| \leq m $ 的Thue丢番图方程建立有效上界，其中 $ F_\varepsilon $ 是与数域 $ K = \mathbb{Q}(\alpha) $ 中单位 $ \varepsilon $ 关联的二元型。
• 在条件 $ \mathbf{Q}(\alpha\varepsilon) = K $ 下，证明关于解的有效高度界猜想，重点关注单位 $ \varepsilon $ 的一个大子集。
• 通过引入一类具有受控伽罗瓦共轭模的新型单位 $ \tilde{\mathcal{E}}_\nu^{(\alpha)} $，将先前在三次域中的结果推广到高次域。
• 证明当 $ [K:\mathbb{Q}] \geq 4 $ 时，集合 $ \tilde{\mathcal{E}}_\nu^{(\alpha)} $ 在单位群中具有正密度，从而确保这些界适用于非平凡且无限的解族。
• 提供显式、可计算的常数 $ \kappa_4, \kappa_5 $，使得解的大小和对数高度被有界于 $ m $ 的某次幂。

提出的方法

• 将集合 $ \mathcal{E}_\nu^{(\alpha)} $ 定义为单位 $ \varepsilon \in \mathbf{Z}_K^\times $，使得 $ \mathbf{Q}(\alpha\varepsilon) = K $，且存在两个嵌入 $ \sigma_i, \sigma_j $ 满足 $ |\sigma_i(\alpha\varepsilon)| = \|\alpha\varepsilon\| $ 且 $ |\sigma_j(\alpha\varepsilon)| \geq \|\alpha\varepsilon\|^\nu $。
• 引入集合 $ \tilde{\mathcal{E}}_\nu^{(\alpha)} $ 为满足 $ \varepsilon^{-1} \in \mathcal{E}_\nu^{(1/\alpha)} $ 的单位 $ \varepsilon \in \mathcal{E}_\nu^{(\alpha)} $，以保证对称性并提升密度。
• 使用对数嵌入 $ \lambda: \mathbf{Z}_K^\times \to \mathbb{R}^{r+1} $ 将单位群转化为 $ \mathbb{R}^{r+1} $ 中的格，其中 $ r $ 为单位秩。
• 在对数空间中定义区域 $ D_\nu(M), D'_\nu(M), \tilde{D}_\nu(M) $，以捕捉在伽罗瓦共轭上满足模条件的单位。
• 证明当 $ d \geq 4 $ 时，这些区域具有正的 $ r $-维体积，从而表明 $ \tilde{\mathcal{E}}_\nu^{(\alpha)} $ 在 $ \mathcal{E}^{(\alpha)} $ 中具有正密度。
• 应用线性对数形式理论与高度界，推导出 $ \max\{|x|, |y|, e^{h(\alpha\varepsilon)}\} $ 关于 $ m^{\kappa_5} $ 的显式上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ \varepsilon $ 取遍 $ \mathbf{Z}_K^\times $ 中一个大子集的单位时，能否为Thue方程 $ |F_\varepsilon(x, y)| \leq m $ 的解 $ (x, y, \varepsilon) $ 建立有效上界？
• RQ2 在四次及以上数域中，关于Thue方程有效高度界的猜想是否对单位群中正密度子集成立？
• RQ3 集合 $ \tilde{\mathcal{E}}_\nu^{(\alpha)} $ 的结构是什么？其在单位群中的正密度如何促成有效界？
• RQ4 在给定的单位限制下，解 $ (x, y) $ 的大小与对数高度 $ h(\alpha\varepsilon) $ 如何与参数 $ m $ 相关？
• RQ5 能否通过对数形式与体积估计，验证当相关域 $ \mathbf{Q}(\alpha\varepsilon) $ 的次数 $ \geq 3 $ 时，该猜想在Thue方程族中成立？

主要发现

• 对任意 $ m \geq 2 $，所有满足 $ 0 < |x| \leq |y| $ 且 $ |F_\varepsilon(x, y)| \leq m $ 的解 $ (x, y, \varepsilon) \in \mathbb{Z}^2 \times \mathcal{E}_\nu^{(\alpha)} $ 满足 $ \max\{|y|, e^{h(\alpha\varepsilon)}\} \leq m^{\kappa_4} $，其中 $ \kappa_4 > 0 $ 为可有效计算的常数。
• 对任意 $ m \geq 2 $，所有满足 $ xy \neq 0 $ 且 $ |F_\varepsilon(x, y)| \leq m $ 的解 $ (x, y, \varepsilon) \in \mathbb{Z}^2 \times \tilde{\mathcal{E}}_\nu^{(\alpha)} $ 满足 $ \max\{|x|, |y|, e^{h(\alpha\varepsilon)}\} \leq m^{\kappa_5} $，其中 $ \kappa_5 > 0 $ 为可有效计算的常数。
• 当 $ [K:\mathbb{Q}] \geq 4 $ 时，集合 $ \tilde{\mathcal{E}}_\nu^{(\alpha)} $ 在 $ \mathcal{E}^{(\alpha)} $ 中具有正密度，确保这些界适用于无限且重要的解族。
• 在对数空间中，区域 $ D_\nu(M), D'_\nu(M), \tilde{D}_\nu(M) $ 当 $ d \geq 4 $ 时具有正的 $ r $-维体积，这意味着存在无穷多个此类单位。
• 证明依赖于对数空间中的体积估计与单位群的结构，表明 $ \tilde{\mathcal{E}}_\nu^{(\alpha)}(e^M) $ 中的解数至少以 $ M^r $ 的速度增长，其中 $ r $ 为单位秩。
• 本结果扩展了先前在三次域中的工作，并解决了在高次域中，特别是当 $ d \geq 4 $ 时，对一大类自然单位族的猜想。