[论文解读] Solving fuzzy two-point boundary value problem using fuzzy Laplace transform

Latif Ahmad, Muhammad Shoaib Farooq+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2014

Fuzzy Systems and Optimization参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的解析方法，用于在广义Hukuhara可微性下，利用模糊拉普拉斯变换（FLT）求解模糊两点边值问题（FBVPs）。通过应用FLT将模糊微分方程转化为代数系统，再应用边界条件消除未知常数，该方法为薛定谔方程和齐次FBVPs推导出精确解，展示了FLT作为模糊边值问题新工具的有效性。

ABSTRACT

A natural way to model dynamic systems under uncertainty is to use fuzzy boundary value problems (FBVPs) and related uncertain systems. In this paper we use fuzzy Laplace transform to find the solution of two-point boundary value under generalized Hukuhara differentiability. We illustrate the method for the solution of the well known two-point boundary value problem Schrodinger equation, and homogeneous boundary value problem. Consequently, we investigate the solutions of FBVPs under as a new application of fuzzy Laplace transform.

研究动机与目标

• 开发一种在不确定性下求解模糊两点边值问题（FBVPs）的新解析方法。
• 将模糊拉普拉斯变换（FLT）的应用从初值问题扩展到边值问题。
• 证明FLT在求解具有模糊边界条件的二阶模糊微分方程时的可行性与准确性。
• 在广义Hukuhara可微性下，利用FLT为薛定谔方程和齐次FBVPs提供精确解。
• 建立一个可扩展至高阶FBVPs的框架。

提出的方法

• 将模糊拉普拉斯变换（FLT）应用于模糊微分方程，将其转化为拉普拉斯域中的代数方程。
• 通过模糊数的下界函数和上界函数表示解的参数形式，分别记为 $\underline{u}(r)$ 和 $\overline{u}(r)$。
• 在变换后应用边界条件以消除未知常数，利用模糊边界值求解变换解中的常数。
• 应用反模糊拉普拉斯变换，获得时间域中的解析解，表示为模糊值函数。
• 通过两个示例验证该方法：薛定谔方程和具有模糊边界条件的齐次二阶FBVP。
• 通过分别求解下界和上界函数的变换方程来构建解，确保与广义H-可微性的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 模糊拉普拉斯变换能否有效应用于求解二阶模糊两点边值问题？
• RQ2 在广义H-可微性下，FLT获得的解与经典解相比，在有效性与结构上如何？
• RQ3 当上下解非单调时，模糊解保持有效水平集的条件是什么？
• RQ4 FLT能否用于推导具有模糊边界条件的模糊薛定谔方程的解析解？
• RQ5 基于FLT的方法是否可扩展至高阶模糊边值问题？

主要发现

• 模糊拉普拉斯变换成功求解了具有模糊边界条件的模糊薛定谔方程，得到了参数形式的完整解析解。
• 对于齐次FBVP $x''(t) - 3x'(t) + 2x(t) = 0$，该方法为模糊解的下界和上界函数均得到了精确解。
• 通过在变换后应用边界条件来确定解的常数，确保与给定模糊边界值的一致性。
• 只要上下函数满足所需的单调性条件，该方法可确保模糊解作为有效水平集保持有效。
• 齐次问题的解表明，清晰解位于上解与下解之间，证实了该方法的可靠性。
• 如作者在结论中所建议，该方法可扩展至 $n$ 阶FBVPs。