[论文解读] Solving Generalized Lyapunov Equations with guarantees: application to the Model Reduction of Switched Linear Systems

Mattia Manucci, Benjamin Unger|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2026

Model Reduction and Neural Networks被引用 0

一句话总结

本文提出一种高效、带可 certify 误差保证的通用李雅普诺夫方程（GLE）求解方法，并将其应用于通过分段平衡化降维框架进行的切换线性系统的模型降阶（MOR）。

ABSTRACT

We present an efficient strategy to approximate the solutions of large-scale generalized Lyapunov equations (GLEs) with rigorous, computable error guarantees. This work is motivated by applications in model order reduction (MOR) of switched linear systems (SLS) in control form, where GLEs play a central role. We analyze how inaccuracies in the numerical solution of GLEs propagate through the MOR procedure and affect the accuracy and reliability of the reduced order model. Furthermore, the classical balanced-truncation error estimate for SLS is neither theoretically nor practically viable, as they rely on restrictive assumptions requiring several requiring several linear matrix inequalities (LMI) to be satisfied exactly by numerically computed solutions of the GLEs. To overcome these limitation, we propose a new MOR framework for SLS, called piecewise balanced reduction (PBR). The method is based on solving multiple GLEs and the construction of projection matrices that are piecewise constant in time to appropriately balance and subsequently reduce the SLS. We extend the standard balanced-truncation error bounds and demonstrate that the PBR formulation allows us to control the error arising from the inexact LMI. In addition, our new error bound accounts for the influence of the piecewise constant time-varying projection matrices. Altogether, this renders the PBR approach for SLS applicable to a broad and flexible class of SLS. Numerical experiments are provided to corroborate our theoretical results.

研究动机与目标

• 在切换线性系统的MOR中，说明对精确 GLE 求解的需求。
• 为求解 GLE 的稳态迭代开发可计算的误差保证。
• 分析 GLE 求解误差如何影响 MOR 的精度和稳定性。
• 引入分段平衡降维（PBR）框架，以处理 LMI 违例与时变投影矩阵。
• 提供理论误差界与对所提方法的数值验证。

提出的方法

• 将 GLE 以向量化的 Kronecker 形式建模并分析可解性。
• 应用一个稳态迭代算法，求解一系列李雅普诺夫方程（算法1）。
• 推导 GLE 解的可计算先验误差界（定理3.6）。
• 提出基于残差的停止准则和高效的低秩 Krylov 基 李雅普诺夫求解器（第3.2节）。
• 解释如何在 GLE 解不精确的情况下对降阶模型进行扰动与认证，以保持稳定性（定理3.7）。
• 引入分段平衡化降维（PBR）框架，以放宽 LMI 要求并考虑时变投影矩阵（第4节）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在大规模设置中计算带认证的、可保证的 GLE 解近似？
• RQ2 GLE 解中的数值误差如何通过切换线性系统的 MOR 传播？
• RQ3 带误差认证的 GLE 解是否能够在切换下实现稳定且准确的降阶模型？
• RQ4 分段平衡方法能否缓解 MOR 对 SLS 的 LMI 限制并提供鲁棒的误差界？
• RQ5 提出的 PBR 框架对 SLS MOR 的理论和实际收益有哪些？

主要发现

• 一种高效的稳态迭代策略可得到带可计算误差保证的 GLE 解（定理3.6）。
• 论文分析 GLE 解到切换线性系统的降阶模型的误差传播，并给出保持稳定性的扰动结果（定理3.7）。
• 经典平衡中的基于 LMI 的误差界在 LMI 被违反或数值解未严格满足时可能失效，促使提出 PBR 方法。
• 一个新的 PBR 框架允许对近似的 LMI 和时变、分段常数投影矩阵进行误差控制，扩展了适用范围到广泛的 SLS。
• 数值实验在人工数据和通过 PDE 离散化的切换系统上验证了理论结果（第5节）。