[论文解读] Solving High-dimensional Linear Stochastic Partial Differential Equations via A Kernel-based Approximation Method

Qi Ye|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2013

Numerical methods in engineering被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于核函数的配点方法，用于求解高维随机偏微分方程（SPDEs），特别是由 Lévy 复合噪声驱动的抛物型 SPDEs，通过隐式欧拉格式将其重新表述为椭圆型 SPDE 系统。该方法将近似解构造为具有随机系数的核函数展开，并通过求解线性系统获得，实现了基于填充距离的随机误差界。

ABSTRACT

In this paper, we improve and complete the theoretical results of the kernel-based approx-imation (collocation) method for solving the high-dimensional stochastic partial differential equations (SPDEs) given in our previous papers. According to the extended theorems, we can use more general positive definite kernels to construct the kernel-based estimators to ap-proximate the numerical solutions of the SPDEs. Because a parabolic SPDE driven by Lévy noises can be discretized into serval elliptic SPDEs by the implicit Euler scheme at time. We mainly focus on how to solve a system of elliptic SPDEs driven by various kinds of right-hand-side random noises. The kernel-based approximate solution of the elliptic SPDEs is a linear combination of the positive definite kernel with the differential and boundary operators of the SPDEs centered at the chosen collocation points, and its random coefficients are obtained by solving a system of random linear equations, whose random parts are simulated by the elliptic SPDEs. Moreover, we introduce the error bounds – confident intervals – of the kernel-based approximate solutions of the elliptic (parabolic) SPDEs in terms of fill distances (or possible time distances) in the probability sense. We also give a well coding algorithm to compute the kernel-based solutions of the second-order parabolic SPDEs driven by time and space Poisson noises. The two-dimensional numerical experiments show that the approximate probability dis-tributions of the kernel-based solutions are well-behave for the Sobolev-spline kernels and the compact support kernels.

研究动机与目标

• 扩展并完善基于核函数的高维 SPDE 近似理论基础，适用于一般正定核函数。
• 解决在高维空间中求解由不同类型随机噪声驱动的椭圆型 SPDE 系统的挑战。
• 在概率框架下，基于填充距离或时间距离，推导基于核函数的解的置信区间。
• 为具有时间和空间泊松噪声的二阶抛物型 SPDEs 开发一种计算高效的算法。
• 通过二维实验验证该方法的数值性能，采用 Sobolev 样条核函数和紧支撑核函数。

提出的方法

• 使用隐式欧拉格式对具有 Lévy 噪声的抛物型 SPDEs 进行时间离散化，将其转化为多个椭圆型 SPDEs。
• 将基于核函数的近似解构造为以配点为中心的正定核函数的线性组合。
• 对 SPDE 的微分算子和边界算子作用于核函数，以构建试函数空间。
• 通过配点条件导出的随机线性方程组求解，确定随机系数。
• 利用底层椭圆型 SPDE 的数值解，模拟线性系统中的随机分量。
• 基于填充距离或时间距离，建立近似解的概率误差界（置信区间）。

实验结果

研究问题

• RQ1 一般正定核函数能否在高维 SPDE 的基于核函数的配点方法中有效使用？
• RQ2 如何通过时间离散化将由 Lévy 噪声驱动的抛物型 SPDEs 高效求解为椭圆型 SPDEs？
• RQ3 基于填充距离的核函数 SPDE 解的概率误差界是什么？
• RQ4 如何高效计算具有泊松噪声的 SPDE 中核展开的随机系数？
• RQ5 在高维设置下，基于核函数的解在多大程度上能近似真实解的概率分布？

主要发现

• 所提出的基于核函数的方法使得更广泛的正定核函数类别可用于高维 SPDE 的近似。
• 基于填充距离，推导出基于核函数解的概率误差界，为近似解提供了置信区间。
• 该方法成功处理了具有多种随机噪声类型（包括泊松噪声）的椭圆型 SPDE 系统。
• 为具有时间和空间泊松噪声的二阶抛物型 SPDEs 开发了一套结构清晰的计算算法。
• 二维数值实验表明，对于 Sobolev 样条核函数和紧支撑核函数，基于核函数的解的近似概率分布均表现良好。