[论文解读] Solving Linear Programs with Complementarity Constraints using Branch-and-Cut

Bin Yu, John E. Mitchell+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2018

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文提出一种用于求解带互补约束的线性规划问题（LPCCs）的分支定界割平面算法，通过直接对互补约束进行分支，结合专用割平面和可行性恢复技术。该方法在MIP公式下的表现优于CPLEX，在25个实例中有23个在3600秒内求解成功——尤其在含最多400个互补约束的问题上表现优异，100个变量的实例可在1分钟内求得解。

ABSTRACT

A linear program with linear complementarity constraints (LPCC) requires the minimization of a linear objective over a set of linear constraints together with additional linear complementarity constraints. This class has emerged as a modeling paradigm for a broad collection of problems, including bilevel programs, Stackelberg games, inverse quadratic programs, and problems involving equilibrium constraints. The presence of the complementarity constraints results in a nonconvex optimization problem. We develop a branch-and-cut algorithm to find a global optimum for this class of optimization problems, where we branch directly on complementarities. We develop branching rules and feasibility recovery procedures and demonstrate their computational effectiveness in a comparison with CPLEX. The implementation builds on CPLEX through the use of callback routines. The computational results show that our approach is a strong alternative to constructing an integer programming formulation using big-$M$ terms to represent bounds for variables, with testing conducted on general LPCCs as well as on instances generated from bilevel programs with convex quadratic lower level problems.

研究动机与目标

• 解决带互补约束的线性规划问题（LPCCs）的全局最优解，此类问题为非凸问题，对标准求解器具有挑战性。
• 开发一种分支定界割平面框架，直接对互补约束进行分支，而非依赖大M型MIP重构方法。
• 通过从互补结构中推导有效不等式并集成可行性恢复程序，提升求解效率。
• 在一般LPCCs和下层为凸二次规划的双层规划问题上，展示相对于CPLEX的MIP求解器的计算优越性。
• 提供一种稳健且全局收敛的LPCC算法，能够证明问题的不可行性、无界性或有限最优性。

提出的方法

• 该算法采用分支定界割平面框架，直接对互补约束进行分支，避免使用大M型公式。
• 通过互补结构推导出有效不等式，以加强线性规划松弛的松弛效果。
• 分支规则设计为基于每对互补变量中哪一个为零来划分解空间。
• 在分支定界过程中集成可行性恢复程序，以提升解的质量。
• 利用CPLEX的回调例程，集成自定义割平面和分支逻辑。
• 该方法在一般LPCCs以及下层为凸二次规划的双层规划实例上进行了测试。

实验结果

研究问题

• RQ1 一种直接对互补约束进行分支的分支定界割平面算法，是否能在LPCCs上优于标准MIP求解器（如CPLEX）？
• RQ2 从互补约束中推导出的哪些类型的有效不等式最有效地加强LPCC的线性规划松弛？
• RQ3 专门设计的分支规则和可行性恢复程序在减少LPCC求解时间方面有多有效？
• RQ4 该算法是否能可靠地在合理时间内求解含数百个互补约束的大规模LPCC？
• RQ5 直接分支方法是否能避免大M型MIP公式中常见的数值不稳定性和弱松弛边界问题？

主要发现

• 所提出的分支定界割平面算法在25个测试实例中有23个在3600秒时限内求解成功，而CPLEX仅求解了18个。
• 该算法在20个实例中求解时间低于360秒，而CPLEX仅在6个实例中达到此性能。
• 仅有1个实例中CPLEX表现优于该算法，表明新方法具有持续的优越性。
• 该算法成功求解了含最多400个互补约束的实例，展示了良好的可扩展性。
• 对于含100个互补约束的实例，该算法在1分钟内完成求解，凸显其在中等规模问题上的高效性。
• 性能分布图显示，该算法在求解时间的下尾部分始终优于CPLEX，表现稳定。