[论文解读] Solving Multi-Coloring Combinatorial Optimization Problems Using Hybrid Quantum Algorithms

Young-Hyun Oh, Hamed Mohammadbagherpoor+4 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 37被引用 15

一句话总结

本文提出一种混合量子-经典方法，结合变分量子本征求解器（VQE）与量子近似优化算法（QAOA），以求解NP难的多色组合优化问题。通过将图着色问题映射为伊辛哈密顿量，该方法利用参数化量子线路实现量子叠加与纠缠，在NISQ设备上以多项式时间实现最优解，并在飞行调度与频谱分配等三个实际应用场景中成功验证。

ABSTRACT

The design of a good algorithm to solve NP-hard combinatorial approximation problems requires specific domain knowledge about the problems and often needs a trial-and-error problem solving approach. Graph coloring is one of the essential fields to provide an efficient solution for combinatorial applications such as flight scheduling, frequency allocation in networking, and register allocation. In particular, some optimization algorithms have been proposed to solve the multi-coloring graph problems but most of the cases a simple searching method would be the best approach to find an optimal solution for graph coloring problems. However, this naive approach can increase the computation cost exponentially as the graph size and the number of colors increase. To mitigate such intolerable overhead, we investigate the methods to take the advantages of quantum computing properties to find a solution for multi-coloring graph problems in polynomial time. We utilize the variational quantum eigensolver (VQE) technique and quantum approximate optimization algorithm (QAOA) to find solutions for three combinatorial applications by both transferring each problem model to the corresponding Ising model and by using the calculated Hamiltonian matrices. Our results demonstrate that VQE and QAOA algorithms can find one of the best solutions for each application. Therefore, our modeling approach with hybrid quantum algorithms can be applicable for combinatorial problems in various fields to find an optimal solution in polynomial time.

研究动机与目标

• 解决经典方法在图规模增大时求解NP难多色组合优化问题所面临的指数级计算成本问题。
• 利用近期含噪声中等规模量子（NISQ）设备，加速实际应用场景（如飞行调度与频谱分配）的求解过程。
• 构建系统化框架，将带约束的图着色问题转化为适用于量子优化的伊辛哈密顿量形式。
• 展示混合量子-经典算法（特别是VQE与QAOA）在求解多色着色问题中的最优解有效性。
• 通过三个实际案例研究验证该方法在当前量子硬件与模拟器上的可扩展性与可靠性。

提出的方法

• 将多色组合优化问题表述为带有硬约束的二元二次优化问题。
• 通过特定问题的目标函数与约束惩罚项，将优化问题映射为伊辛哈密顿量。
• 通过准备初始量子态、利用参数化酉操作演化并测量期望值以最小化能量，实现变分量子本征求解器（VQE）。
• 采用变分电路交替应用$U_c(\gamma)$与$U_B(\beta)$层的量子近似优化算法（QAOA），其中参数由$\gamma$与$\beta$控制，以近似伊辛哈密顿量的基态。
• 使用经典优化器（如COBYLA）迭代更新变分参数$\gamma$与$\beta$，以最小化哈密顿量的期望值。
• 使用$O(n^2p)$个单量子比特旋转门与$O(n^2p)$个CNOT门构建QAOA电路，其中$n$为量子比特数，$p$为电路深度。

实验结果

研究问题

• RQ1 像VQE与QAOA这样的混合量子算法是否能有效求解经典计算机上为NP难的多色组合优化问题？
• RQ2 随着电路深度$p$增加，QAOA算法在从图着色问题导出的伊辛哈密顿量基态近似方面表现如何？
• RQ3 与经典精确或启发式求解器相比，VQE与QAOA框架在多色着色问题上能将计算时间减少多少？
• RQ4 所提出的伊辛模型变换能否可靠地将硬约束（如相邻节点必须具有不同颜色）编码到哈密顿量形式中？
• RQ5 该混合方法在飞行调度、频谱分配与寄存器分配等实际应用中的表现如何？

主要发现

• 在所有三个案例研究中，采用COBYLA优化器的QAOA算法成功收敛至最优解，展现出强健性与可靠性。
• 在每个案例研究中，QAOA算法均生成了精确的最优着色分配，如表4中的解向量所示，每个节点均被分配唯一颜色且无冲突。
• VQE与QAOA方法在多项式时间内实现最优解，显著降低了经典方法在大规模图上通常面临的指数时间复杂度。
• 随着电路深度$p$增加，QAOA算法的近似比得到改善，并在极限$p \to \infty$时收敛至伊辛哈密顿量的精确基态。
• 该混合方法成功将实际应用（包括飞行调度、频谱分配与寄存器分配）映射为可在量子模拟器与NISQ设备上求解的伊辛模型。
• 实现结果证实，VQE与QAOA均可有效用于求解复杂多色着色问题，其中QAOA提供保证的近似质量并收敛至最优解。