[论文解读] Solving multiscale steady radiative transfer equation using neural networks with uniform stability

Yulong Lu, Li Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2021

Mathematical Biology Tumor Growth被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种基于宏观-微观分解的损失函数的物理信息神经网络（PINN）框架，用于求解在扩散区（小Knudsen数ε）下具有均匀稳定性的多尺度稳态辐射转移方程（RTE）。通过将损失函数重新表述为宏观-微观分解形式，并引入针对各向异性流入条件的边界层校正项，该方法确保了神经网络解的L²误差在ε → 0极限下对ε保持一致有界，从而解决了原始PINN在ε → 0时的不稳定性问题。

ABSTRACT

This paper concerns solving the steady radiative transfer equation with diffusive scaling, using the physics informed neural networks (PINNs). The idea of PINNs is to minimize a least-square loss function, that consists of the residual from the governing equation, the mismatch from the boundary conditions, and other physical constraints such as conservation. It is advantageous of being flexible and easy to execute, and brings the potential for high dimensional problems. Nevertheless, due the presence of small scales, the vanilla PINNs can be extremely unstable for solving multiscale steady transfer equations. In this paper, we propose a new formulation of the loss based on the macro-micro decomposition. We prove that, the new loss function is uniformly stable with respect to the small Knudsen number in the sense that the $L^2$-error of the neural network solution is uniformly controlled by the loss. When the boundary condition is an-isotropic, a boundary layer emerges in the diffusion limit and therefore brings an additional difficulty in training the neural network. To resolve this issue, we include a boundary layer corrector that carries over the sharp transition part of the solution and leaves the rest easy to be approximated. The effectiveness of the new methodology is demonstrated in extensive numerical examples.

研究动机与目标

• 解决原始物理信息神经网络（PINNs）在扩散区（小ε）求解稳态辐射转移方程（RTE）时的不稳定性问题。
• 设计一种损失函数，使其在Knudsen数ε上保持一致稳定性，确保当ε → 0时解的L²误差保持有界。
• 应对在扩散极限下由各向异性流入条件引起的边界层问题，该问题会阻碍神经网络的收敛。
• 基于半空间问题构造边界层校正项，以分离尖锐过渡区域，提升对光滑解分量的逼近能力。
• 通过广泛的数值实验，验证所提方法在线性和非线性RTE问题中的有效性。

提出的方法

• 基于RTE解的宏观-微观分解，提出一种新型损失函数，将解分离为宏观（扩散）部分与微观（偏离）部分。
• 将损失定义为控制方程残差、边界条件残差及物理约束残差之和，所有项均以宏观-微观变量表示。
• 引入源自关联半空间问题解的边界层校正项，以捕捉各向异性情况下边界附近的陡峭梯度。
• 利用校正项将解分解为具有尖锐过渡的分量（由校正项处理）与光滑的剩余分量（由神经网络近似）。
• 训练神经网络以逼近光滑的剩余分量，同时强制执行校正项结构，确保在ε → 0极限下具有稳定性和准确性。
• 证明了一致稳定性估计：PINN解的L²误差被新损失函数一致有界，且与Knudsen数ε无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种PINN损失函数，使其在扩散区对Knudsen数ε的稳定性保持一致？
• RQ2 在PINN求解RTE时，如何有效处理由各向异性流入条件引起的边界层问题？
• RQ3 宏观-微观分解是否能带来更稳定、更精确的神经网络解，用于多尺度辐射转移问题？
• RQ4 边界层校正项能否提升PINN训练中对边界附近尖锐梯度问题的收敛性并降低误差？
• RQ5 所提方法是否对稳态辐射转移方程的线性和非线性变体均有效？

主要发现

• 所提损失函数确保了统一稳定性：神经网络解的L²误差被损失函数一致有界，且与ε无关，有效防止了ε → 0时的发散。
• 在各向异性边界条件下，引入边界层校正项显著提升了训练收敛速度与解的精度，有效隔离了尖锐梯度。
• 数值结果表明，该方法在ε = 1（动力区）与ε = 10⁻³（扩散区）下均实现了高精度，相对L²误差在各尺度下均保持较低水平。
• 在示例8（线性RTE）中，该方法准确逼近了解及其扩散极限，损失与误差在训练过程中持续稳定下降。
• 在示例9（非线性RTE）中，该方法成功捕捉了从动力行为到扩散行为的过渡，预测的T(x)与I(x,v)在ε = 1与ε = 10⁻³时均与参考解高度吻合。
• 与原始PINNs相比，使用边界层校正项显著提升了训练过程的稳定性和效率，尤其在ε → 0极限下表现更优。