[论文解读] Solving Noether's equations for gauge invariant local Lagrangians of N arbitrary higher even spin fields

W. Ruehl|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文提出一种量子场论方法，通过在自由共形标量理论中对N重环函数进行维度调节，构造N个任意高阶偶自旋场的规范不变、局部拉格朗日量。通过这些环函数中紫外发散的留数，推导出诺特定势，成功重现了已知的三阶（N=3）和自由（N=2）相互作用，并为N=4提供了系统性算法，导出了s通道的主导项。该方法通过时空维度D的解析延拓，确保了共形不变性和阿贝尔规范不变性。

ABSTRACT

We consider systems of higher spin gauge fields that are described by a free field Lagrangian and one interaction of arbitrary order $N$ that is local and satisfies abelian gauge invariance. Such "solitary" interactions are derived from Noether potentials solving the Noether equations. They are constructed using a free conformal field theory carried by the same flat space as the higher spin fields. In this field theory we consider $N$-loop functions of conserved, conformally covariant currents, they are UV divergent. The residue of the first order pole in the dimensional regularisation approach to the $N$-loop function is a local differential operator and is free of anomalies, so that current conservation and conformal covariance is maintained. Applying this operator to the higher spin fields, the Noether potential results. We study the cases $N=2, N=3$ and N=4. We argue that our N=3 vertex for any number of derivatives $Δ$ is identical with the known cubic interaction.

研究动机与目标

• 使用一致的量子场论框架，构造N个任意高阶偶自旋场的局部规范不变拉格朗日量。
• 通过共形场论方法，将已知的三阶相互作用（N=3）和自由场（N=2）拉格朗日量系统性地推广至任意N。
• 通过N重环函数的维度调节，确保所得诺特定势具有阿贝尔规范不变性和共形不变性。
• 为平坦空间和共形平坦空间（如AdS）的高阶自旋理论提供通用算法。
• 探讨是否存在广义的“命题1”——即通过主导项重构完整相互作用——在N≥4时是否成立，基于共形对称性。

提出的方法

• 在平坦空间中使用自由共形标量量子场论，构造偶自旋s的守恒共形协变流。
• 计算这些流的N重环函数，其具有紫外发散性，且依赖于时空维度D。
• 应用维度调节，提取D中一阶极点的留数，从而得到一个无异常的局部微分算子。
• 将此算子用作诺特定势，与高阶自旋场耦合，以确保规范不变性和共形协变性。
• 对于N=3，通过比较主导项和发散项，将所得拉格朗日量与已知的三阶相互作用匹配。
• 对于N=4，显式导出s通道的主导项，并提出对s-、t-和u-通道的对称求和，以满足玻色对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否发展一种系统性的、基于量子场论的方法，用于构造N个任意高阶偶自旋场的局部规范不变拉格朗日量？
• RQ2 守恒流的N重环函数中紫外发散的留数是否能产生一个共形不变且无异常的微分算子，适用于诺特定势的构造？
• RQ3 已知的三阶相互作用拉格朗日量（N=3）是否能通过此方法唯一地从其主导项重构，并保持共形不变性？
• RQ4 该算法能否推广至N=4？所导出的s通道主导项在与t-和u-通道组合时，是否满足所需的玻色对称性？
• RQ5 对于高阶相互作用（N≥4），是否存在共形场论的“命题1”类比——即完整相互作用由主导项决定——？

主要发现

• N=2的诺特定势在去除迹项后，与弗龙斯达尔的自由拉格朗日量一致，通过将B参数设为零，消除了D依赖系数，从而保持共形不变性。
• 对于N=3，该方法成功重现了已知三阶相互作用拉格朗日量的主导项和部分发散项（deDonder场），证实与已有结果的一致性。
• 通过“命题1”可唯一重构完整的三阶相互作用，证实所导出的诺特定势能产生已知的共形不变三阶顶点。
• 对于N=4，s通道的主导项被显式导出，其形式涉及超几何函数及依赖于Δ和自旋量子数的组合系数。
• 该方法确保最终拉格朗日量同时具有阿贝尔规范不变性和共形不变性，因为紫外发散留数保持了流守恒和共形协变性。
• 该算法可推广至其他共形平坦空间（如AdS），表明其在平坦空间之外也具有广泛适用性。