[论文解读] Solving Optical Tomography with Deep Learning

Yuwei Fan, Lexing Ying|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2019

Optical Imaging and Spectroscopy Techniques参考文献 61被引用 10

一句话总结

本文提出一种基于卷积神经网络（CNN）的深度学习框架，用于求解由辐射转移方程控制的二维光学层析成像中的正向与反向问题。通过利用一种摄动分析方法，将正向映射近似为卷积算子，该方法即使在存在噪声的情况下，也能从边界测量中高精度重建散射系数，并在不同包含物构型之间实现良好泛化。

ABSTRACT

This paper presents a neural network approach for solving two-dimensional optical tomography (OT) problems based on the radiative transfer equation. The mathematical problem of OT is to recover the optical properties of an object based on the albedo operator that is accessible from boundary measurements. Both the forward map from the optical properties to the albedo operator and the inverse map are high-dimensional and nonlinear. For the circular tomography geometry, a perturbative analysis shows that the forward map can be approximated by a vectorized convolution operator in the angular direction. Motivated by this, we propose effective neural network architectures for the forward and inverse maps based on convolution layers, with weights learned from training datasets. Numerical results demonstrate the efficiency of the proposed neural networks.

研究动机与目标

• 解决由辐射转移方程控制的光学层析成像反问题所面临的计算与数值挑战。
• 克服传统光学层析成像反问题求解器固有的病态性与对噪声的敏感性。
• 开发一种数据驱动的神经网络架构，以高效近似光学特性与边界测量之间的高维、非线性正向与反向映射。
• 通过一次训练单个神经网络，实现正向与反向问题的快速推理，而非反复求解偏微分方程。
• 展示训练好的网络在测试案例中对与训练时不同的包含物数量（如训练时为2个，测试时为4个）的泛化能力。

提出的方法

• 将光学层析成像问题表述为散射系数μ与阿尔贝多算子核λ之间的映射关系，基于二维各向同性Henyey-Greenstein散射的辐射转移方程。
• 应用摄动分析，表明线性化正向映射可近似为角向的向量化卷积，从而启发基于CNN的网络架构设计。
• 设计一种具有可学习权重的卷积神经网络（CNN），用于同时近似正向映射（μ → λ）与反向映射（λ → μ），训练数据通过PDE求解生成的合成数据。
• 在散射系数与对应阿尔贝多算子核的配对数据上端到端训练网络，损失函数最小化预测μ与真实μ之间的L2误差。
• 采用多通道输入表示以编码角向积分的边界测量，使网络能够学习散射分布的方向与空间特征。
• 实施两阶段训练与推理流程：首先在具有N_e个包含物的数据上训练网络（如N_e = 2），然后在未见过的配置上测试（如N_e = 4），评估泛化性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 深度神经网络能否有效近似由辐射转移方程控制的光学层析成像中高维、非线性正向与反向映射？
• RQ2 基于摄动分析将正向映射近似为卷积算子而设计的CNN架构，是否相比传统方法具有更高的精度与效率？
• RQ3 训练好的神经网络在阿尔贝多算子核存在测量噪声时的鲁棒性如何？
• RQ4 训练好的网络能否泛化至训练时未见的包含物数量不同的测试案例（如训练时为2个，测试时为4个）？
• RQ5 神经网络在多大程度上能隐式学习正则化，从而避免在反问题求解中显式引入正则化项？

主要发现

• 当无噪声时（噪声水平δ = 0%），所提出的神经网络对散射系数μ实现了近乎完美的重建，相对L2误差约为0.001%。
• 在5%噪声水平下，网络仍能以低于1.5%的相对L2误差恢复μ的主要特征，且预测形状保持正确的位置与方向，尽管存在模糊。
• 网络泛化性能良好：在仅含两个包含物（N_e = 2）的数据上训练后，能准确重建含四个包含物（N_e = 4）的情况，反之亦然，表明对结构变化具有鲁棒性。
• 网络在训练后实现高速推理，支持单次前向传播预测，无需迭代求解PDE，显著优于传统基于优化的方法。
• 该方法在噪声下表现稳定，随着噪声增加，重建质量逐渐下降，但在δ = 5%时仍保持结构保真度。
• 支撑网络卷积结构的摄动分析得到数值验证，表明线性化正向映射在角变量上可被1D卷积良好近似。