[论文解读] Solving Parity Games on Integer Vectors

Parosh Aziz Abdulla, Richard Mayr+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2013

Formal Methods in Verification参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的框架，用于求解整数向量上的parity游戏，证明了在仅有一名玩家修改计数器的向量加法系统（VASS）上单边parity游戏的可判定性。主要贡献在于证明了向上封闭获胜集的极小元素是可计算的，这表明在VASS上对模态μ-微积分的大范围片段进行模型检测是可判定的，并计算了多维能量parity游戏的最小初始资金的Pareto前沿——解决了文献中一个开放问题。

ABSTRACT

We consider parity games on infinite graphs where configurations are represented by control-states and integer vectors. This framework subsumes two classic game problems: parity games on vector addition systems with states (vass) and multidimensional energy parity games. We show that the multidimensional energy parity game problem is inter-reducible with a subclass of single-sided parity games on vass where just one player can modify the integer counters and the opponent can only change control-states. Our main result is that the minimal elements of the upward-closed winning set of these single-sided parity games on vass are computable. This implies that the Pareto frontier of the minimal initial credit needed to win multidimensional energy parity games is also computable, solving an open question from the literature. Moreover, our main result implies the decidability of weak simulation preorder/equivalence between finite-state systems and vass, and the decidability of model checking vass with a large fragment of the modal mu-calculus.

研究动机与目标

• 为解决多维能量parity游戏中所需最小初始资金计算的开放问题。
• 建立在VASS上对模态μ-微积分大范围片段进行模型检测的可判定性。
• 表明单边VASS parity游戏中获胜集是向上封闭的，且其极小元素是可计算的。
• 将能量游戏和VASS游戏的结果统一并推广到整数向量游戏的共同框架下。
• 为多维能量parity游戏中最小初始资金的Pareto前沿提供一种构造性计算方法。

提出的方法

• 作者引入了部分配置，其中仅定义了部分计数器，从而实现对无限配置的抽象。
• 他们定义了一种博弈语义，其中若至少一个实例是获胜的，则部分配置即为获胜，重点研究了计数器子集C的C-版本问题。
• 建立了单边VASS parity游戏与多维能量parity游戏之间的约化，表明二者可互相约化。
• 核心方法涉及从VASS和μ-微积分公式构造一个博弈图，将模型检测问题转化为整数向量上的parity游戏。
• 通过向后不动点计算和向上封闭性质分析获胜条件，利用单边博弈的结构。
• 使用一种基于向上封闭性和Pareto前沿计算的新算法，计算获胜集的极小元素。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否计算赢得多维能量parity游戏所需的最小初始资金？
• RQ2 单边VASS parity游戏中获胜集是否为向上封闭的，且其极小元素是否可计算？
• RQ3 模型检测的可判定性是否可扩展到VASS上模态μ-微积分的大范围片段？
• RQ4 能量游戏与VASS游戏之间的相互约化能否正式建立并用于可判定性结果？
• RQ5 多维能量parity游戏中最小初始资金的Pareto前沿是否可计算？

主要发现

• 单边VASS parity游戏中向上封闭获胜集的极小元素是可计算的，解决了关键开放问题。
• 多维能量parity游戏中最小初始资金的Pareto前沿是可计算的，提供了所需初始资源的完整表征。
• 在VASS上对模态μ-微积分大范围片段进行模型检测是可判定的，扩展了先前结果。
• 有限状态系统与VASS之间的弱模拟预序/等价关系是可判定的，这是由于获胜集的可计算性。
• 从μ-微积分公式构造等价博弈，使得模型检测问题可有效约化为整数向量上的parity游戏。