[论文解读] Solving PDEs with Unmeasurable Source Terms Using Coupled Physics-Informed Neural Network with Recurrent Prediction for Soft Sensors

Aina Wang, Pan Qin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2023

Model Reduction and Neural Networks被引用 4

一句话总结

该论文提出CPINN-RP，一种用于软传感器的耦合物理信息神经网络与循环预测方法，以解决具有不可测量源项的非齐次偏微分方程（PDEs）。通过采用数据-物理混合损失函数整合NetU（解逼近）与NetG（训练正则化），并应用分层训练策略，CPINN-RP实现了高精度的时空预测，在合成数据上达到98.8%的皮尔逊相关系数（CC）和低于6.8%的均方根误差（RMSE），在真实振动数据上实现97.1%的CC和8.22的RMSE，用于预测未测量传感器的输出。

ABSTRACT

Partial differential equations (PDEs) are a model candidate for soft sensors in industrial processes with spatiotemporal dependence. Although physics-informed neural networks (PINNs) are a promising machine learning method for solving PDEs, they are infeasible for the nonhomogeneous PDEs with unmeasurable source terms. To this end, a coupled PINN (CPINN) with a recurrent prediction (RP) learning strategy (CPINN- RP) is proposed. First, CPINN composed of NetU and NetG is proposed. NetU is for approximating PDEs solutions and NetG is for regularizing the training of NetU. The two networks are integrated into a data-physics-hybrid loss function. Then, we theoretically prove that the proposed CPINN has a satisfying approximation capability for solutions to nonhomogeneous PDEs with unmeasurable source terms. Besides the theoretical aspects, we propose a hierarchical training strategy to optimize and couple NetU and NetG. Secondly, NetU-RP is proposed for compensating information loss in data sampling to improve the prediction performance, in which RP is the recurrently delayed outputs of well-trained CPINN and hard sensors. Finally, the artificial and practical datasets are used to verify the feasibility and effectiveness of CPINN-RP for soft sensors.

研究动机与目标

• 解决工业软传感器中非齐次PDEs存在不可测量源项的挑战。
• 开发一种物理信息神经网络框架，在无需直接测量源项的情况下保持高精度。
• 通过循环预测补偿数据采样损失，提升预测性能。
• 在合成数据与真实工业振动数据上验证该方法。
• 实现对具有时空动力学和不可访问源项的复杂系统中关键变量的鲁棒软传感。

提出的方法

• 提出一种耦合PINN（CPINN）框架，包含两个网络：NetU用于逼近PDE解，NetG用于正则化NetU的训练。
• 将NetU与NetG整合进数据-物理混合损失函数，以强制满足PDE约束及边界/初始条件。
• 引入分层训练策略，以优化并耦合NetU与NetG，提升收敛性与稳定性。
• 开发NetU-RP，一种利用训练后CPINN输出与硬传感器延迟输出的循环预测模块，以减轻稀疏采样导致的信息损失。
• 理论分析证明，在不可测量源项条件下，CPINN具备基于L²-范数收敛的逼近能力。
• 采用无网格、数据驱动的方法，结合物理定律与神经网络学习，求解PDE。

实验结果

研究问题

• RQ1 当源项不可测量时，物理信息神经网络框架能否有效求解非齐次PDEs？
• RQ2 在无直接源测量的情况下，如何稳定并提升PDE求解神经网络的训练？
• RQ3 能否通过硬传感器数据与先前CPINN输出的循环预测，提升数据稀疏区域的预测精度？
• RQ4 所提出的CPINN-RP框架在具有不可测量源项的合成与真实工业PDE问题上的表现如何？
• RQ5 分层训练策略在多大程度上提升了CPINN模型的泛化能力与鲁棒性？

主要发现

• 在1D波动方程的合成数据上，CPINN-RP在区间[0,π]×[0,6]内实现98.77%的皮尔逊相关系数（CC）和6.75%的均方根误差（RMSE）。
• 对于1D波动方程，在固定时间t=2和t=4时，RMSE分别为4.84×10⁻²和5.28×10⁻²，CC值分别为98.98%和98.20%。
• 在实际航空发动机花键联轴器实验中，CPINN-RP对未测量的传感器4输出预测的CC为97.14%，RMSE为8.22，优于基线预期。
• 该方法展现出强大的泛化能力，在传感器1–3的训练数据上达到99.9%的CC，表明对底层动力学的有效学习。
• 分层训练策略显著提升了收敛性与稳定性，使在不可测量源项条件下仍能实现可靠的解逼近。
• 循环预测组件有效补偿了数据采样损失，在稀疏测量场景下提升了预测保真度。