[论文解读] Solving Quadratic Equations via PhaseLift when There Are About As Many Equations As Unknowns

Emmanuel J. Candès, Xiaodong Li|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2012

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 5被引用 20

一句话总结

该论文表明，PhaseLift 可以通过半定规划从最少 $O(n)$ 个二次幅度测量 $|\langle \bm{a}_i, \bm{x}_0 \rangle|^2 = b_i$ 中精确恢复任意复向量 $\bm{x}_0 \in \mathbb{C}^n$。它实现了所有信号的统一精确恢复，失败概率呈指数级小，显著优于此前需要 $O(n \log n)$ 测量的理论界。

ABSTRACT

This note shows that we can recover a complex vector x in C^n exactly from on the order of n quadratic equations of the form ||^2 = b_i, i = 1, ..., m, by using a semidefinite program known as PhaseLift. This improves upon earlier bounds in [3], which required the number of equations to be at least on the order of n log n. We also demonstrate optimal recovery results from noisy quadratic measurements; these results are much sharper than previously known results.

研究动机与目标

• 弥合信息论最小值 ($O(n)$ 个方程) 与 PhaseLift 在相位恢复中先前理论保证的 $O(n\log n)$ 个方程之间的差距。
• 建立统一的精确恢复：即 PhaseLift 可以同时从 $O(n)$ 个测量中恢复所有信号，而不仅限于单个固定信号。
• 将失败概率界从 $1 - 3e^{-\gamma m/n}$ 改进为 $1 - O(e^{-\gamma m})$，实现测量数 $m$ 上的指数衰减。
• 推导出噪声测量下的最优稳定性界，表明误差与 $\ell_1$ 噪声水平呈线性关系。

提出的方法

• 通过 $\bm{X} = \bm{x}\bm{x}^*$ 将非凸的二次相位恢复问题转化为一个秩一矩阵恢复问题。
• 使用 PhaseLift，即通过最小化 $\operatorname{tr}(\bm{X})$ 实现凸松弛，约束条件为 $\bm{X} \succeq 0$ 且 $\operatorname{tr}(\bm{a}_i\bm{a}_i^*\bm{X}) = b_i$。
• 采用对偶证书方法证明精确恢复，通过构造一个满足测量算子零空间中特定条件的矩阵 $\bm{Y}$。
• 引入一种改进的概率论证，表明测量算子的零空间在所有秩一矩阵处同时与半正定锥相切。
• 对于噪声测量，求解一个鲁棒的 $\ell_1$-正则化半定规划：$\min \sum_i |\operatorname{tr}(\bm{a}_i\bm{a}_i^*\bm{X}) - b_i|$，约束条件为 $\bm{X} \succeq 0$。
• 利用扰动分析和迹范数界，推导出 Frobenius 范数下的稳定性保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 PhaseLift 能否仅用 $O(n)$ 个测量实现精确恢复，而非 $O(n\log n)$ 个？
• RQ2 当 $m = O(n)$ 时，精确恢复是否具有普遍性——即是否能同时恢复所有信号？
• RQ3 失败概率能否从多项式衰减改进为关于 $m$ 的指数衰减？
• RQ4 在噪声二次测量下，PhaseLift 的最优稳定性界是什么？

主要发现

• 当 $m \geq c_0 n$ 时，$c_0$ 为一大常数，任意复向量 $\bm{x}_0 \in \mathbb{C}^n$ 的精确恢复以至少 $1 - O(e^{-\gamma m})$ 的概率保证成立。
• 该结果具有普遍性：所有信号可同时从 $O(n)$ 个测量中恢复，而不仅限于单个固定信号。
• 失败概率随 $m$ 指数衰减，相比先前 $1 - 3e^{-\gamma m/n}$ 的界有显著改进。
• 对于噪声测量，恢复矩阵 $\hat{\bm{X}}$ 与 $\bm{x}_0\bm{x}_0^*$ 之间的 Frobenius 范数误差被界为 $C_0 \frac{\|\bm{w}\|_1}{m}$，表明具有最优稳定性。
• 该稳定性界是紧致的：在 $\ell_1$ 噪声下，任何方法在 Frobenius 范数下的误差均无法优于 $O(\|\bm{w}\|_1 / m)$。
• 该证明技术与以往工作根本不同，无法从文献 [3] 的分析中推导得出，需要对测量算子的零空间提出全新的概率与几何论证。