[论文解读] Solving quasi-free and quadratic Lindblad master equations for open fermionic and bosonic systems

Thomas Barthel, Yikang Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2021

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用 5

一句话总结

本文提出了一种统一框架，利用升降算符超算符（第三次量子化）求解开放费米子和玻色子系统中的准自由和二次黎曼方程。该框架推导出协方差矩阵和格林函数的闭合运动方程，将李普尼安算符变换为若尔当代数标准型以处理准自由系统，并建立了稳态存在性与稳定性的判据——尤其指出玻色子系统可能因李雅普诺夫方程解的不稳定性而不存在稳态。

ABSTRACT

The dynamics of Markovian open quantum systems are described by Lindblad master equations. For fermionic and bosonic systems that are quasi-free, i.e., with Hamiltonians that are quadratic in the ladder operators and Lindblad operators that are linear in the ladder operators, we derive the equation of motion for the covariance matrix. This determines the evolution of Gaussian initial states and the steady states, which are also Gaussian. Using ladder super-operators (a.k.a. third quantization), we show how the Liouvillian can be transformed to a many-body Jordan normal form which also reveals the full many-body spectrum. Extending previous work by Prosen and Seligman, we treat fermionic and bosonic systems on equal footing with Majorana operators, shorten and complete some derivations, also address the odd-parity sector for fermions, give a criterion for the existence of bosonic steady states, cover non-diagonalizable Liouvillians also for bosons, and include quadratic systems. In extension of the quasi-free open systems, quadratic open systems comprise additional Hermitian Lindblad operators that are quadratic in the ladder operators. While Gaussian states may then evolve into non-Gaussian states, the Liouvillian can still be transformed to a useful block-triangular form, and the equations of motion for $k$-point Green's functions form a closed hierarchy. Based on this formalism, results on criticality and dissipative phase transitions in such models are discussed in a companion paper [arXiv:2204.05346].

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，求解具有二次哈密顿量和线性或二次林德布拉德算符的马尔可夫开放量子系统。
• 通过马约拉纳算符和实结构矩阵，统一处理费米子和玻色子系统。
• 建立稳态存在性与系统稳定性的条件，尤其关注玻色子系统中稳态可能不存在的情况。
• 通过包含非可对角化李普尼安算符、奇数宇称费米子区段和二次林德布拉德算符，扩展普罗森与塞利格曼的前期工作。
• 为研究二次开放系统中的临界性和耗散相变奠定基础，详见配套论文。

提出的方法

• 利用马约拉纳算符，基于实结构矩阵，推导出费米子和玻色子系统协方差矩阵的运动方程。
• 引入升降算符超算符（第三次量子化），以紧凑形式表达李普尼安算符，同时保持超费米子数的偶奇性。
• 通过正则变换将李普尼安算符变换为多体若尔当代数标准型，揭示完整的多体谱。
• 应用连续李雅普诺夫方程以确定稳态协方差矩阵，并通过辛特征值评估其物理性。
• 对二次系统使用分块上三角形式，以闭合k点格林函数的层次结构。
• 基于李雅普诺夫方程解的物理性（辛特征值 ≥ 1/2），建立玻色子系统稳态存在的判据。

实验结果

研究问题

• RQ1 准自由和二次开放费米子与玻色子系统在何种条件下存在稳态？
• RQ2 此类系统的李普尼安超算符如何系统性地对角化或变换为若尔当代数标准型？
• RQ3 这些开放量子系统的稳定性和弛豫动力学由什么决定，尤其在玻色子情况下？
• RQ4 二次林德布拉德算符的引入如何影响关联层次结构，并影响高斯态演化可能性？
• RQ5 连续李雅普诺夫方程在确定玻色子系统中稳态的存在性与物理性方面起什么作用？

主要发现

• 对于准自由系统，李普尼安算符可在双正交基中变换为三角形式，揭示完整的多体谱，并实现动力学的精确求解。
• 费米子系统始终至少存在一个稳态，因为李普尼安谱保证了物理真空态的存在。
• 若连续李雅普诺夫方程的解导致协方差矩阵的辛特征值超出物理范围 [1/2, ∞)，则玻色子系统可能不存在稳态，如单模示例中 Γ∞ = -1/2 所示。
• 玻色子系统中物理稳态的存在性等价于李雅普诺夫方程存在正定解，且其辛特征值 ≥ 1/2。
• 若所有结构矩阵 X₀ 的特征值实部均非正，则准自由玻色子系统的稳定性可保证，该结论通过李雅普诺夫方程及解的正定性得到证明。
• 对于二次系统，k点格林函数的层次结构保持闭合，即使高斯性被破坏，也能高效计算非高斯动力学。