[论文解读] Solving S-unit, Mordell, Thue, Thue-Mahler and generalized Ramanujan-Nagell equations via Shimura-Taniyama conjecture

Rafael von Känel, Benjamin Matschke|arXiv (Cornell University)|May 19, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 131被引用 11

一句话总结

本论文提出新算法，利用舒伊玛-田村猜想和法尔廷斯方法求解 ℚ 上的 S-单位、Mordell、Thue、Thue-Mahler 及广义 Ramanujan-Nagell 方程，避免使用对数形式。引入高效的椭圆对数筛法与改进的高度界，使此前难以处理的丢番图方程得以求解，并获得更优的显式界与新猜想。

ABSTRACT

In the first part we construct algorithms which we apply to solve S-unit, Mordell, cubic Thue, cubic Thue-Mahler and generalized Ramanujan-Nagell equations. As a byproduct we obtain alternative practical approaches for various classical Diophantine problems, including the fundamental problem of finding all elliptic curves over Q with good reduction outside a given finite set of rational primes. To illustrate the utility of our algorithms we determined the solutions of large classes of equations, containing many examples of interest which are out of reach for the known methods. In addition we used the resulting data to motivate various conjectures and questions, including Baker's explicit abc-conjecture and a new conjecture on S-integral points of any hyperbolic genus one curve over Q. In the second part we establish new results for certain old Diophantine problems (e.g. the difference of squares and cubes) related to Mordell equations, and we prove explicit height bounds for cubic Thue, cubic Thue--Mahler and generalized Ramanujan--Nagell equations. As a byproduct, we obtain here an alternative proof of classical theorems of Baker, Coates and Vinogradov-Sprindzuk. In fact we get refined versions of their theorems, which improve the actual best results in many fundamental cases. Our results and algorithms all ultimately rely on the method of Faltings (Arakelov, Parshin, Szpiro) combined with the Shimura-Taniyama conjecture, and they all do not use lower bounds for linear forms in (elliptic) logarithms. In the third part we solve the problem of constructing an efficient sieve for the S-integral points of bounded height on any elliptic curve E over Q with given Mordell-Weil basis of E(Q).

研究动机与目标

• 开发求解 ℚ 上经典丢番图方程（包括 S-单位、Mordell、Thue、Thue-Mahler 与广义 Ramanujan-Nagell 方程）的实用算法。
• 为三次 Thue、Thue-Mahler 与广义 Ramanujan-Nagell 方程提供显式、优化的高度界，改进贝克、科茨以及维诺格拉多夫–施普林杰克的经典定理。
• 通过椭圆对数的几何解释，构建 ℚ 上椭圆曲线上 S-整点的高效筛法。
• 提供不依赖对数形式线性型下界的经典结果的替代证明。
• 生成计算数据以激发新猜想，包括贝克的显式 abc-猜想与关于双曲亏格一曲线 S-整点的新猜想。

提出的方法

• 该方法结合法尔廷斯方法与舒伊玛-田村猜想，避免依赖对数形式线性型的下界。
• 开发两种算法类型：一种基于模符号，另一种结合显式高度界与高效筛法。
• 通过整合德·韦杰的丢番图逼近技术与新几何思想，构建改进的 S-单位方程筛法。
• 提出一种“椭圆对数筛法”，结合扎吉尔的椭圆对数约化与新颖的几何与计算增强。
• 算法使用受控精度的数值计算、区间算术与牛顿法，以保证精度计算二次型的特征值。
• 通过 Fincke–Pohst 算法对椭圆对数筛法定义的椭球体进行格点枚举，基于 LLL 约化与有理逼近实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖对数形式的前提下，利用模符号与高度界高效求解 ℚ 上的 S-单位方程？
• RQ2 三次 Thue、Thue-Mahler 与广义 Ramanujan-Nagell 方程的最尖锐显式高度界为何？
• RQ3 如何改进椭圆对数筛法，以高效计算给定 Mordell-Weil 基下椭圆曲线上的 S-整点？
• RQ4 所得到的算法能否求解此前难以处理的丢番图方程，并生成激发丢番图几何新猜想的数据？
• RQ5 舒伊玛-田村猜想在多大程度上可用于推导经典丢番图逼近定理的改进、有效版本？

主要发现

• 论文构建了一种改进的 S-单位方程筛法，结合德·韦杰的丢番图逼近与新几何技术，显著提升效率。
• 开发出高效的“椭圆对数筛法”，用于计算 ℚ 上椭圆曲线上 S-整点，对实际求解困难的丢番图方程至关重要。
• 为三次 Thue、Thue-Mahler 与广义 Ramanujan-Nagell 方程推导出显式高度界，改进了贝克、科茨及维诺格拉多夫–施普林杰克的经典定理。
• 算法成功求解了大量超出已知方法能力范围的方程，涵盖众多数论兴趣点。
• 所得数据激发新猜想，包括贝克显式 abc-猜想的改进版本与关于 ℚ 上双曲亏格一曲线 S-整点的新猜想。
• 该方法避免使用对数形式线性型的下界，为经典结果提供新、替代的路径，在关键情形中实现更高有效性。