[论文解读] Solving Shift Problems and Hidden Coset Problem Using the Fourier Transform

Lawrence Ip|ArXiv.org|May 7, 2002

Coding theory and cryptography参考文献 5被引用 10

一句话总结

本论文提出了一种量子算法，通过傅里叶变换在有限域和环 ℤ/nℤ 上求解移位乘法特征标问题，将问题表述为矩阵分解或去卷积问题。当函数满足特定谱条件时，可高效恢复移位量，并将隐子群问题推广至隐陪集问题，以处理由于周期性导致的非唯一移位。

ABSTRACT

We give a quantum algorithm for solving a shifted multiplicative character problem over Z/nZ and finite fields. We show that the algorithm can be interpreted as a matrix factorization or as solving a deconvolution problem and give sufficient conditions for a shift problem to be solved efficiently by our algorithm. We also show that combining the shift problem with the hidden subgroup problem results in a hidden coset problem. This naturally captures the redundancy in the shift due to the periodic structure of multiplicative characters over Z/nZ.

研究动机与目标

• 开发一种用于在有限域和 ℤ/nℤ 上求解移位乘法特征标问题的量子算法。
• 识别利用傅里叶变换高效求解移位问题的充分条件。
• 将隐子群问题与移位问题统一于广义隐陪集问题框架之中。
• 将解解释为傅里叶域中的去卷积问题，从而实现更广泛的应用。

提出的方法

• 将移位问题重新表述为矩阵求逆问题，其中矩阵 X 的元素为 g(x+y)，g 是群 G 上的函数。
• 利用有限阿贝尔群上的特征标理论，将矩阵 X 分解为 X = (F^T)^{-1} D F^{-1}，其中 F 为傅里叶变换矩阵，D 为对角矩阵。
• 利用量子傅里叶变换，通过 F D^{-1} F^T 高效计算 X 的逆，前提是 g 的傅里叶变换具有恒定模长且避免取零值。
• 将该方法应用于有限域和 ℤ/nℤ 上的乘法特征标，其中特征标满足所需的谱条件。
• 通过将问题约化为 G/H 上的隐子群问题，再在商群 G/H 上求解移位问题，处理非唯一移位问题，其中 H 为稳定子子群。
• 将解解释为傅里叶域中的去卷积问题，其中 f = δ_{-s} * g，δ_{-s} 通过傅里叶变换的逐点除法恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，量子算法能够利用傅里叶变换高效恢复函数 f(x) = g(x+s) 中未知的移位量 s？
• RQ2 如何将隐子群问题扩展以处理由乘法特征标中的周期结构引起的非唯一移位？
• RQ3 当由于加法周期性导致移位不唯一时，能否在 ℤ/nℤ 上高效求解移位乘法特征标问题？
• RQ4 移位问题在多大程度上可被解释为傅里叶域中的去卷积问题？该解释如何辅助算法设计？
• RQ5 函数 g 需满足何种必要且充分条件，才能使移位问题在量子多项式时间内可解？

主要发现

• 该算法成功求解了 ℤ/pℤ 上的移位勒让德符号问题与移位二次特征标问题，以及 n 为无平方因子数时的移位雅克比符号问题，扩展了范·丹姆与霍尔格伦的前期工作。
• 对于奇数 n 的 ℤ/nℤ 上的乘法特征标，该算法的成功概率为 (1 - 1/p₁)²⋯(1 - 1/pₖ)²，其中 pᵢ 为 n 的不同素因子。
• 该算法通过将问题约化为 G/H 上的隐子群问题，再在商群 G/H 上求解移位问题，成功处理了非唯一移位问题，其中 H 为稳定子子群。
• 该方法被解释为在傅里叶域中求解去卷积问题，其中 f = δ_{-s} * g，δ_{-s} 通过傅里叶变换的逐点除法恢复。
• 效率的充分条件包括：当 x ≠ 0 时 |g(x)| = 1，g(0) = 0，且 g 的傅里叶变换具有恒定模长，并且除可能在平凡特征标处外不取零值。
• 当 g 为有限域或 ℤ/nℤ 上的非平凡乘法特征标时，由于此类特征标在傅里叶变换下的谱特性，该算法能够高效恢复移位量 s。