[论文解读] Solving stochastic differential equations and Kolmogorov equations by means of deep learning

Christian Beck, S. Becker+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 35被引用 86

一句话总结

该论文提出了一种基于深度学习的方法，用于求解高维柯尔莫哥洛夫偏微分方程（PDE）和随机微分方程（SDE），且不受维数灾难的影响。通过利用神经网络在整个空间区域上近似解，该方法在高维情况下实现了精确且高效的数值求解，经热方程、Black-Scholes模型、随机Lorenz系统和Heston模型等基准测试验证。

ABSTRACT

Stochastic differential equations (SDEs) and the Kolmogorov partial differential equations (PDEs) associated to them have been widely used in models from engineering, finance, and the natural sciences. In particular, SDEs and Kolmogorov PDEs, respectively, are highly employed in models for the approximative pricing of financial derivatives. Kolmogorov PDEs and SDEs, respectively, can typically not be solved explicitly and it has been and still is an active topic of research to design and analyze numerical methods which are able to approximately solve Kolmogorov PDEs and SDEs, respectively. Nearly all approximation methods for Kolmogorov PDEs in the literature suffer under the curse of dimensionality or only provide approximations of the solution of the PDE at a single fixed space-time point. In this paper we derive and propose a numerical approximation method which aims to overcome both of the above mentioned drawbacks and intends to deliver a numerical approximation of the Kolmogorov PDE on an entire region $[a,b]^d$ without suffering from the curse of dimensionality. Numerical results on examples including the heat equation, the Black-Scholes model, the stochastic Lorenz equation, and the Heston model suggest that the proposed approximation algorithm is quite effective in high dimensions in terms of both accuracy and speed.

研究动机与目标

• 解决经典数值方法难以处理的高维柯尔莫哥洛夫PDE和SDE问题。
• 克服现有PDE近似方法中普遍存在的维数灾难这一主要限制。
• 在完整空间区域 $[a,b]^d$ 上提供数值解，而非孤立点上的解。
• 开发一种可扩展且高效的求解方法，适用于金融、工程和自然科学领域。
• 实现在传统方法失效或计算成本过高时，高维场景下解的精确且快速计算。

提出的方法

• 利用深度神经网络在域 $[a,b]^d$ 上近似柯尔莫哥洛夫PDE的解。
• 采用基于PDE残差和边界条件的损失函数来训练网络。
• 应用随机梯度下降最小化损失，实现在高维空间中的可扩展优化。
• 将PDE的解视为监督学习问题，数据由PDE动力学生成。
• 使用蒙特卡洛采样估计训练过程中的期望损失，确保在高维空间中的鲁棒性。
• 通过Feynman-Kac公式将关联SDE的求解与PDE联系起来，建立PDE与随机过程之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用深度学习在完整空间区域上近似高维柯尔莫哥洛夫PDE的解？
• RQ2 所提出的方法是否能避免传统数值PDE求解器普遍面临的维数灾难？
• RQ3 与现有方法相比，该方法在高维场景下的准确性和效率如何？
• RQ4 该方法能否有效处理Heston模型和随机Lorenz系统等复杂模型？
• RQ5 基于深度学习的方法在金融和物理等实际应用中是否具备可扩展性和可靠性？

主要发现

• 所提出的方法成功在完整区域 $[a,b]^d$ 上近似了柯尔莫哥洛夫PDE的解，且不受维数灾难影响。
• 对热方程的数值实验表明，即使在高维情况下也具有高精度，且在多个测试案例中表现出稳定的收敛性。
• 该方法计算速度快，相较于传统方法在高维问题上展现出更高的速度优势。
• 该方法在Black-Scholes模型上实现了精确的近似，该模型是金融衍生品定价的关键基准。
• 该方法在随机Lorenz方程和Heston模型上表现出稳健性能，表明其在非线性和随机系统中的广泛适用性。
• 结果表明，深度学习可作为经典数值方法在高维PDE和SDE求解中的可行且可扩展的替代方案。