[论文解读] Solving Stochastic Inverse Problems using Sigma-Algebras on Contour Maps

Troy Butler, D. Estep+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2014

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 15被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种非侵入式的、基于测度论的方法，用于求解观测量数量少于参数数量的微分方程模型中的随机反问题。通过利用从参数到感兴趣量（QoI）映射导出的等高线图上的σ-代数，该方法结合随机采样与随机几何，构建了后验概率测度的收敛且可计算的近似，具有已证明的误差估计，并在流体流动模拟中展示了收敛性。

ABSTRACT

We compute approximate solutions to inverse problems for determining parameters in differential equation models with stochastic data on output quantities. The formulation of the problem and modeling framework define a solution as a probability measure on the parameter domain for a given $σ-$algebra. In the case where the number of output quantities is less than the number of parameters, the inverse of the map from parameters to data defines a type of generalized contour map. The approximate contour maps define a geometric structure on events in the $σ-$algebra for the parameter domain. We develop and analyze an inherently non-intrusive method of sampling the parameter domain and events in the given $σ-$algebra to approximate the probability measure. We use results from stochastic geometry for point processes to prove convergence of a random sample based approximation method. We define a numerical $σ-$algebra on which we compute probabilities and derive computable estimates for the error in the probability measure. We present numerical results to illustrate the various sources of error for a model of fluid flow past a cylinder.

研究动机与目标

• 解决观测感兴趣量（QoI）数量少于模型参数数量时导致的随机反问题不适定性问题。
• 开发一种非侵入式采样方法，通过反问题映射的几何结构，在参数域上近似解的概率测度。
• 定义计算用的σ-代数，并推导后验概率测度近似误差的可计算估计。
• 通过在测度论框架内使用广义等高图，保留集合值反问题映射中的几何信息。
• 通过圆柱体绕流模型的数值实验，验证方法的收敛性与精度。

提出的方法

• 在测度论框架内表述随机反问题，将解定义为相对于σ-代数的参数域上的唯一概率测度。
• 利用分解定理（Disintegration Theorem）和等高事件上的假设（Ansatz），确保原始σ-代数中解的存在性与唯一性。
• 通过基于输出区间原像的参数域划分，构造后验测度的Radon-Nikodym导数（密度）的简单函数近似。
• 在参数域上进行随机采样，隐式定义用于等高σ-代数和原始σ-代数的近似集合。
• 应用随机几何的结果，在弱正则性假设下证明基于随机样本的近似方法的收敛性。
• 通过定义数值σ-代数并界定向真概率与近似概率之间的差异，推导出概率测度近似误差的可计算估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 当观测QoI数量少于参数数量，导致反问题不适定的情况下，如何在参数域上构造唯一的概率测度？
• RQ2 使用从QoI映射导出的广义等高图上的σ-代数时，参数空间中的何种几何结构得以保留？
• RQ3 在无解的参数假设下，非侵入式采样方法是否能收敛到真实的后验测度？
• RQ4 能否严格推导出在计算σ-代数上基于随机采样的后验概率测度近似误差的边界？
• RQ5 如何通过结合具有不同几何敏感性的多个QoI，改善高维参数空间中后验概率的定位？

主要发现

• 在等高σ-代数中，随机反问题的解存在且唯一，且通过分解定理，该唯一性可扩展至原始参数σ-代数。
• 该方法通过随机采样实现了概率测度近似的收敛，其收敛性由随机几何与Lebesgue收敛定理证明。
• 在流体流动算例中，对$Q = Q_1 + Q_2$的联合输出密度进行反演，成功估计了十五个参数中的五个，优于单一QoI反演的结果。
• 对参数对如$(\beta, \beta)$和$(\beta, I_0)$的边缘分布表现出非均匀行为，表明其具有敏感性；而其他大多数参数对由于敏感性较低，近似均匀。
• 通过结合具有几何差异的多个QoI，该方法成功地将后验分布定位到体积递减的区域，与理论分析预测一致。
• 概率测度近似误差估计是可计算的，通过构造数值σ-代数并分析Voronoi单元近似得出。