[论文解读] Solving systems of linear equations on a quantum computer

Stefanie Barz, Ivan Kassal+5 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用 38

一句话总结

该论文首次在光子量子计算机上实现了用于求解线性方程组的Harrow-Hassidim-Lloyd（HHL）量子算法的实验实现。通过在偏振编码的量子比特上使用两次连续的受控-非门（CNOT），并采用预告控制（heralded control），作者成功制备了2×2矩阵的量子态解 |x⟩ = A⁻¹|b⟩/‖A⁻¹|b⟩‖，保真度最高达0.981 ± 0.009，标志着光子量子信息处理与量子算法验证的重要进展。

ABSTRACT

Systems of linear equations are used to model a wide array of problems in all fields of science and engineering. Recently, it has been shown that quantum computers could solve linear systems exponentially faster than classical computers, making for one of the most promising applications of quantum computation. Here, we demonstrate this quantum algorithm by implementing various instances on a photonic quantum computing architecture. Our implementation involves the application of two consecutive entangling gates on the same pair of polarisation-encoded qubits. We realize two separate controlled-NOT gates where the successful operation of the first gate is heralded by a measurement of two ancillary photons. Our work thus demonstrates the implementation of a quantum algorithm with high practical significance as well as an important technological advance which brings us closer to a comprehensive control of photonic quantum information.

研究动机与目标

• 展示在光子量子处理器上实现HHL量子算法求解线性方程组的实验可行性。
• 实现一种可扩展的量子算法，为大规模线性系统提供相对于经典方法的指数级加速。
• 利用光子量子比特和纠缠门，实现对解向量 |x⟩ = A⁻¹|b⟩/‖A⁻¹|b⟩‖ 的高保真度态制备。
• 在不同矩阵和输入态下评估算法性能，分析保真度与误差源。

提出的方法

• 该算法利用相位估计算法将厄米矩阵A的本征值编码到辅助寄存器中，通过受控旋转实现本征值的反转。
• 在相同一对偏振编码的量子比特上实现了两次连续的受控-非门（CNOT），首次门的成功通过测量两个辅助光子进行预告。
• 通过移除中间量子比特并分解受控旋转，对量子线路进行优化，降低了资源开销，提升了实验可行性。
• 通过使用半波片和四分之一波片实现的局域酉操作，用于制备输入态 |b⟩，并通过参数θ调节矩阵A的本征值。
• 解态 |x⟩ 在测量辅助量子比特为 |1⟩ 时条件性制备成功，该结果作为实验运行成功的预告信号。
• 通过量子态层析技术重建输出密度矩阵，并测量其与理想解态的保真度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅使用线性光学元件和后选择机制，在光子量子计算机上实验实现求解线性方程组的HHL算法？
• RQ2 在使用光子量子比特和两次连续CNOT门的情况下，2×2系统中解态 |x⟩ = A⁻¹|b⟩/‖A⁻¹|b⟩‖ 的最大保真度能达到多少？
• RQ3 不同的输入态 |b⟩ 和矩阵本征值谱如何影响光子实现中算法的保真度与误码率？
• RQ4 高阶光子发射效应在多大程度上会降低算法性能，其影响如何依赖于态 R|b⟩？
• RQ5 预告控制与局域酉操作的结合能否在光子系统中实现HHL算法的可扩展化？

主要发现

• HHL算法在光子量子处理器上成功实现，采用同一量子比特对上的两次连续CNOT门，首次门的成功通过辅助光子探测进行预告。
• 当输入态为 |b₁⟩ = |1⟩ 时，解态 |x⟩ 的保真度最高达到 0.981 ± 0.009，表明实现了高保真度态制备。
• 当输入态为 |b₂⟩ = |+⟩ 时，保真度降低至 0.832 ± 0.031，归因于与态 R|b⟩ 相关的高阶光子发射效应。
• 算法性能随矩阵A的本征值谱变化而变化，不同本征值集合 Λ₁、Λ₂、Λ₃ 下的保真度范围为 0.773 ± 0.027 至 0.981 ± 0.009。
• 实验装置通过调节参数 θ 实现了对矩阵A的可调性，可实现具有受控本征值的多种矩阵。
• 结果验证了光子系统在实现量子线性代数算法方面的可行性，并为实现完整相位估计算法的更大规模系统奠定了基础。