[论文解读] Solving the clique cover problem on (bull, $C_4$)-free graphs

Kathie Cameron, Chı́nh T. Hoàng|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文提出了一种 O(n⁴) 的多项式时间算法，用于计算 (bull, C₄)-free 图的最小团覆盖，该算法利用终端单点割集和可约性进行结构分解。主要贡献在于为这一类图首次实现了团覆盖问题的多项式时间求解，该问题在补图类 (bull, 2K₂)-free 图中等价于 3-染色问题。

ABSTRACT

We give an $O(n^4)$ algorithm to find a minimum clique cover of a (bull, $C_4$)-free graph, or equivalently, a minimum colouring of a (bull, $2K_2$)-free graph, where $n$ is the number of vertices of the graphs.

研究动机与目标

• 为 (bull, C₄)-free 图中的最小团覆盖问题开发一种多项式时间算法。
• 将关于弦图和基本图的已知结果扩展到包含禁止诱导子图的更广泛图类。
• 通过分析结构性质，解决 (bull, house)-free 图和无帽图中团覆盖复杂度的开放问题。
• 基于顶点支配、单点割集和三角形无子图中的基于匹配的团覆盖，提供一种构造性算法。
• 通过解决一个关键子类，为 AT-free 图的多项式时间染色这一长期开放问题做出贡献。

提出的方法

• 使用顶点支配约化：若顶点 x 支配 y，则可移除 x 而不改变团覆盖数。
• 应用结构分解：若图不可约且非基本图，则必包含一个终端单点割集。
• 对于终端单点割集 v，分析各分量 Gᵢ = G[Cᵢ ∪ {v}]，其中 Gᵢ 为三角形无图。
• 计算最大匹配 m(Gᵢ) 和 m(Gᵢ − v)，以判断 v 是否可作为单个团覆盖，或必须成对出现。
• 使用递归分解：若 m(Gᵢ) = m(Gᵢ − v)，则 θ(G) = θ(G′) + θ(Gᵢ − v)；否则 θ(Gᵢ) = θ(Gᵢ − v)。
• 通过最多 n 个顶点的动态递归组合结果，利用高效的匹配计算和割集检测，确保 O(n⁴) 时间复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 (bull, C₄)-free 图中以多项式时间求解最小团覆盖问题？
• RQ2 (bull, C₄)-free 图的哪些结构性质使得团覆盖问题可多项式时间求解？
• RQ3 终端单点割集和可约性在递归团覆盖算法设计中起到何种作用？
• RQ4 该算法在更广泛的 AT-free 图染色问题中贡献程度如何？
• RQ5 基于本结果，(bull, house)-free 图或无帽图中的团覆盖问题是否具有可 tractability？

主要发现

• 提出了一种用于计算 (bull, C₄)-free 图中最小团覆盖的 O(n⁴) 算法。
• 该算法通过顶点支配和递归分解终端单点割集，将问题逐步约化。
• 对于由终端单点割集 v 诱导的每个分量 Gᵢ，该算法通过比较匹配大小判断 v 是否可作为单个团覆盖，或必须与另一顶点组成大小为 2 的团。
• 时间复杂度被限制在 O(n⁴)，其来源为 O(n) 次递归步骤，每次涉及 O(nm) 次割集检查和 O(√n m) 次匹配计算。
• 该结果表明，(bull, 2K₂)-free 图的色数可在 O(n⁴) 时间内计算，因为其与补图中的团覆盖问题等价。
• 该算法证实了该类图中团覆盖问题可在多项式时间内求解，为 AT-free 图的染色问题这一长期开放问题提供了关键进展。