[论文解读] Solving the Eikonal equation for compressional and shear waves in anisotropic media using peridynamic differential operator

Ali Can Bekar, Erdogan Madenci+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2021

Numerical methods in engineering参考文献 43被引用 11

一句话总结

该论文提出了一种新颖的数值方法，用于在各向异性介质中求解Eikonal方程，采用非局部的微分算子（PDDO），即使在复杂速度场、陡峭非均质性和不规则地形条件下，也能实现P波和S波走时计算的稳定与高精度。PDDO通过方向加权和基于地层的积分方式，实现了无需迎风假设的一致解行为，其结果比快速扫掠法（FSM）更接近参考解，尤其在具有挑战性的各向异性模型中表现更优。

ABSTRACT

The traveltime of compressional (P) and shear (S) waves have proven essential in many applications of earthquake and exploration seismology. An accurate and efficient traveltime computation for P and S waves is crucial for the success of these applications. However, solutions to the Eikonal equation with a complex phase velocity field in anisotropic media is challenging. The Eikonal equation is a first-order, hyperbolic, nonlinear partial differential equation (PDE) that represents the high-frequency asymptotic approximation of the wave equation. The fast marching and sweeping methods are commonly used due to their efficiency in numercally solving Eikonal equation. However, these methods suffer from numerical inaccuracy in anisotropic media with sharp heterogeneity, irregular surface topography and complex phase velocity fields. This study presents a new method to solving the Eikonal equation by employing the peridynamic differential operator (PDDO). The PDDO provides the nonlocal form of the Eikonal equation by introducing an internal length parameter (horizon) and a weight function with directional nonlocality. The operator is immune to discontinuities in the form sharp changes in field or model variables and invokes the direction of traveltime in a consistent manner. The weight function controls the degree of association among points within the horizon. Solutions are constructed in a consistent manner without upwind assumptions through simple discretization. The capability of this approach is demonstrated by considering different types of Eikonal equations on complex velocity models in anisotropic media. The examples demonstrate its unconditional numerical stability and results compare well with the reference solutions.

研究动机与目标

• 解决传统快速推进法和快速扫掠法（FMM/FSM）在复杂速度场下的各向异性介质中求解Eikonal方程时出现的数值不稳定与不准确问题。
• 开发一种鲁棒的数值方法，能够无需特殊处理或迎风假设，有效处理不连续性、陡峭非均质性和不规则地表地形。
• 通过平均速度梯度和自动微分技术系统且自动地构建走时的初始猜测。
• 展示PDDO方法在具有真实各向异性参数的横向各向同性（TTI）和VTI介质中求解P波和SV波Eikonal方程的能力。

提出的方法

• 利用非局部的微分算子（PDDO）通过引入内部长度参数（作用域）和方向加权函数，将局部的Eikonal方程转化为非局部的积分微分形式。
• PDDO通过在作用域内积分来计算空间导数，即使在速度或模型参数存在不连续性时，也能实现一致的数值微分。
• 该方法采用简单的非迎风有限差分格式，自然地结合了基于波传播特征方向的非局部性。
• 通过加权最小二乘逼近推导PDDO，利用核函数控制作用域内点的关联，从而确保稳定性和精度。
• 通过牛顿型方法迭代更新解，每一步均利用自动微分计算雅可比矩阵。
• 该方法被应用于TTI和VTI介质中的P波和qSV波Eikonal方程，相速度场通过Thomsen各向异性参数定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 PDDO方法在复杂速度场和陡峭非均质性条件下，是否能比传统FMM和FSM更准确、更稳定地求解各向异性介质中的Eikonal方程？
• RQ2 PDDO在不需特殊数值处理或迎风格式的情况下，如何处理速度模型中的不连续性和不规则地表地形？
• RQ3 PDDO的非局部特性在多值走时或走时三重影现象（如qSV波传播）中，能在多大程度上提升解的精度？
• RQ4 PDDO方法能否系统性地自动生成初始走时猜测而无需人工干预？这对其收敛性有何影响？
• RQ5 PDDO方法的计算成本和可扩展性如何，特别是在三维情况下？其是否能高效地并行化以支持高性能计算？

主要发现

• 在BP TTI模型中，PDDO方法的残差误差低于3.17×10⁻³，绝对误差始终小于FSM，表现出更优的精度。
• 在qSV波VTI模型中，PDDO解在t=0.63 s时与低秩近似参考解高度一致，尽管存在数值耗散，仍能准确捕捉主要走时分支。
• 即使在强各向异性（ε=0.4，δ=0.2）和倾斜横观各向同性（θ=40°）条件下，PDDO解仍保持稳定与高精度，优于FSM的误差指标。
• 该方法在具有复杂非均匀速度梯度和陡峭非均质性的模型中成功计算了走时，无需使用迎风模板或人工稳定化处理。
• PDDO方法天然适合基于GPU的并行化，表明在三维应用中具有显著加速潜力，尽管在二维情况下计算成本可能高于FMM/FSM。
• 利用自动微分计算雅可比矩阵，实现了无需人工调参的稳健且系统化的解更新。