[论文解读] Solving the minimum sum coloring problem via binary quadratic programming

Yang Wang, Jin‐Kao Hao+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2013

Scheduling and Timetabling Solutions参考文献 25被引用 9

一句话总结

本文提出了一种新颖的二元二次规划（BQP）方法来求解NP难的最小权和染色问题（MSCP），将MSCP重新建模为BQP模型，并通过路径重连（Path Relinking）算法求解。该方法在基准实例上取得了具有竞争力的结果，在大多数实例上匹配或优于专门的MSCP算法，尽管在大规模图上计算时间更长且存在内存限制。

ABSTRACT

In recent years, binary quadratic programming (BQP) has been successively applied to solve several combinatorial optimization problems. We consider in this paper a study of using the BQP model to solve the minimum sum coloring problem (MSCP). For this purpose, we recast the MSCP with a quadratic model which is then solved via a recently proposed Path Relinking (PR) algorithm designed for the general BQP. Based on a set of MSCP benchmark instances, we investigate the performance of this solution approach compared with existing methods.

研究动机与目标

• 探究二元二次规划（BQP）作为求解NP难的最小权和染色问题（MSCP）的统一框架的应用。
• 利用惩罚函数对约束和目标函数进行转换，将MSCP重新建模为BQP模型。
• 在标准基准实例上，评估BQP-PR方法与专门的MSCP算法在性能上的对比。
• 分析基于BQP的方法在计算时间和内存使用方面的可扩展性与局限性。

提出的方法

• 首先将MSCP建模为一个带二元变量x_uk的整数线性规划模型，其中x_uk表示顶点u是否被分配颜色k。
• 通过引入惩罚项将线性模型转化为BQP公式：对顶点着色约束（c1）施加二次惩罚，对边约束（c2）施加惩罚。
• 将目标函数取反以适配通用BQP模型所需的最大化形式，并将总惩罚函数与反向目标函数结合。
• 应用先前为通用BQP设计的路径重连（PR）算法来求解重构后的MSCP实例。
• 使用惩罚参数P来平衡目标函数与约束违反，实验中P设为1000。
• 使用专门的PR算法求解BQP模型，该算法通过探索精英解之间的轨迹来发现高质量解。

实验结果

研究问题

• RQ1 最小权和染色问题（MSCP）能否被有效重构为二元二次规划（BQP）问题？
• RQ2 在解的质量和计算时间方面，BQP-PR方法与专门的MSCP算法相比表现如何？
• RQ3 在内存和求解时间方面，BQP-PR方法在大规模MSCP实例上的可扩展性极限是什么？
• RQ4 通用BQP算法能否在性能上超越或匹配问题特定启发式算法在MSCP上的表现？

主要发现

• BQP-PR方法在23个基准实例中的15个上达到了已知最佳解，匹配或优于专门算法的最佳结果。
• 在14个实例中，BQP-PR方法优于MRLF启发式算法；在8个实例中，其表现超过PGA算法。
• 在23个实例中的17个上，该方法达到了已知最佳解，包括所有myciel和queen系列实例，以及10个DSJC系列实例。
• 在DSJC500.1实例上，BQP-PR找到的解为3152，而最佳已知结果为2850，表明在大规模图上存在性能差距。
• 该方法的计算时间显著高于专门算法，且随着图规模增大，平均时间急剧上升。
• 由于内存限制，无法求解超过20,000个BQP变量的实例，凸显了关键的可扩展性约束。