[论文解读] Solving the P/NP Problem under Intrinsic Uncertainty

Stefan Jaeger|ArXiv.org|Nov 4, 2008

Numerical Methods and Algorithms参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文通过在计算模型中引入内在不确定性，提出了解决P/NP问题的新方法，将程序代码与输入在比特层面视为不可区分。通过使用熵和置信度阈值建模不确定性，证明了在内在不确定性下P ≠ NP，构造出一个属于NP但不属于P的函数，同时表明所有传统困难决策问题由于在不确定性下的多项式时间近似，仍属于P。

ABSTRACT

Heisenberg's uncertainty principle states that it is not possible to compute both the position and momentum of an electron with absolute certainty. However, this computational limitation, which is central to quantum mechanics, has no counterpart in theoretical computer science. Here, I will show that we can distinguish between the complexity classes P and NP when we consider intrinsic uncertainty in our computations, and take uncertainty about whether a bit belongs to the program code or machine input into account. Given intrinsic uncertainty, every output is uncertain, and computations become meaningful only in combination with a confidence level. In particular, it is impossible to compute solutions with absolute certainty as this requires infinite run-time. Considering intrinsic uncertainty, I will present a function that is in NP but not in P, and thus prove that P is a proper subset of NP. I will also show that all traditional hard decision problems have polynomial-time algorithms that provide solutions with confidence under uncertainty.

研究动机与目标

• 通过在计算模型中引入内在不确定性来解决P/NP问题。
• 通过从一开始就嵌入不确定性，挑战图灵机中硬决策的古典假设。
• 通过在内在不确定性下构造一个可验证为多项式时间（NP）但不可计算为多项式时间（不属于P）的函数，证明P ≠ NP。
• 表明当在不确定性下使用置信度阈值求解时，所有传统困难决策问题仍属于P。
• 建立一个新的复杂性层级，其中软决策（带熵阈值）区分P与NP，而硬决策仍属于P。

提出的方法

• 提出内在不确定性原理，即比特无法被明确分类为程序代码或输入，从而导致二元模糊性。
• 使用标准熵建模这种不确定性，不确定性度量为 H = -p log p - (1-p) log(1-p)，其中p为某一位是代码的概率。
• 通过S形函数 o' = 1 / 2^L(S) 定义置信度，将输入大小L(S)与观测精度关联。
• 利用自计算生成置信度：T_e'(L(S))^NP(S) = T_e'(L(T_e'(L(S))^NP(S)))^NP(T_e'(L(S))^NP(S))，产生递归不确定性。
• 应用熵阈值以区分软决策（带置信度）与硬决策（无不确定性），从而形成修改后的复杂性层级。
• 证明任何自计算图灵机的实现都因不确定性而需要指数时间或空间，因此不可能属于P。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过在计算模型中引入内在不确定性来解决P/NP问题？
• RQ2 程序代码与输入的不可区分性是否导致根本性的计算限制，从而区分P与NP？
• RQ3 能否构造出一个在内在不确定性下可多项式时间验证（属于NP）但不可多项式时间计算（不属于P）的函数？
• RQ4 当在不确定性下使用置信度阈值求解时，传统困难决策问题是否仍属于P？
• RQ5 当将量子力学中的不确定性原理类比应用于图灵机时，它如何类似地约束经典计算？

主要发现

• 在内在不确定性下，存在一个属于NP但不属于P的函数，从而证明P ≠ NP。
• 在不确定性下的自计算需要指数时间或空间，因此此类计算无法在多项式时间内完成。
• 所有传统困难决策问题，包括NP完全问题，在使用置信度阈值于不确定性下求解时，均属于P。
• 置信度 o' = 1 / 2^L(S) 确保输入在自计算中所占比例不超过1%，从而导致指数复杂度。
• 内在不确定性原理导致一个修改后的复杂性层级，其中P是NP的真子集，软决策区分了这两个类。
• 本文结论为P ≠ NP，但所有传统决策问题在具有置信度而非确定性的情况下均可多项式时间求解。