[论文解读] Solving the Pell equation via Rédei rational functions

Stefano Barbero, Umberto Cerruti+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2011

Polynomial and algebraic computation被引用 7

一句话总结

本文提出了一种新颖的代数框架，利用Rédei有理函数和在扩展实数集上新定义的群运算，为求解佩尔方程提供了一种替代方法。通过建立Rédei函数与连分数渐近分数之间的群同构关系，作者表明佩尔方程 $x^2 - dy^2 = 1$ 的解可通过复合运算 $Q_{2n}(d, \frac{x_1+1}{y_1}) = \frac{p_{kL-1}}{q_{kL-1}}$ 系统地生成，其中当周期长度 $L$ 为偶数时 $k = n$，当 $L$ 为奇数时 $k = 2n$，从而为所有佩尔方程解提供了一条基于有理函数的算法化路径。

ABSTRACT

In this paper, we define a new product over $\mathbb{R}^{\infty}$, which allows us to obtain a group isomorphic to $\mathbb R^*$ with the usual product. This operation unexpectedly offers an interpretation of the Rédei rational functions, making more clear some of their properties, and leads to another product, which generates a group structure over the Pell hyperbola. Finally, we join together these results, in order to evaluate solutions of Pell equation in an original way.

研究动机与目标

• 建立 $\mathbb{R}^\infty$ 上的群结构，使其同构于 $\mathbb{R}^*$，从而为Rédei有理函数提供一种新的代数解释。
• 在佩尔双曲线 $H_d$ 上定义一个群运算，该运算通过直线交点反映几何群法则。
• 建立Rédei有理函数与 $\sqrt{d}$ 的连分数渐近分数之间的联系，以生成佩尔方程的解。
• 证明佩尔方程的所有解均可表示为 $Q_{2n}(d, \frac{x_1+1}{y_1}) = \frac{p_{kL-1}}{q_{kL-1}}$，其中 $k$ 取决于周期长度 $L$ 的奇偶性。
• 提供一种替代的、基于函数理论的方法来计算佩尔方程的解，而无需完全依赖连分数算法。

提出的方法

• 在 $\mathbb{R}^\infty$ 上定义二元运算 $\odot_d$，使得 $(\mathbb{R}^\infty, \odot_d)$ 同构于 $(\mathbb{R}^*, \cdot)$，从而为有理函数建立新的代数结构。
• 引入Rédei有理函数 $Q_n(d,z) = N_n(d,z)/D_n(d,z)$，其中 $N_n$ 和 $D_n$ 通过 $(z + \sqrt{d})^n$ 的二项式展开定义。
• 建立乘法性质 $Q_{nm}(d,z) = Q_n(d, Q_m(d,z))$，表明Rédei函数在复合下封闭，并构成一个交换半群。
• 对点 $(x,y) \in H_d$ 定义变换 $\tau(x,y) = \frac{1+x}{y}$，将佩尔双曲线与Rédei函数的定义域联系起来。
• 证明 $\left(\frac{1+x}{y}\right)^{n_{\odot_d}} = Q_n\left(d, \frac{1+x}{y}\right)$，表明 $\mathbb{R}^\infty$ 上的群运算对应于函数迭代。
• 利用恒等式 $Q_{2n}(d, \frac{x_1+1}{y_1}) = \frac{p_{kL-1}}{q_{kL-1}}$ 生成所有能给出佩尔方程解的 $\sqrt{d}$ 的渐近分数，其中若 $L$ 为偶数则 $k = n$，若 $L$ 为奇数则 $k = 2n$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 $\mathbb{R}^\infty$ 上的新群结构重新诠释Rédei有理函数，以揭示其更深层次的代数性质？
• RQ2 能否通过涉及Rédei函数的变换，代数地重构佩尔双曲线 $H_d$ 上的几何群法则？
• RQ3 Rédei有理函数与 $\sqrt{d}$ 的连分数渐近分数之间的确切关系是什么？
• RQ4 复合运算 $Q_{2n}(d, \frac{x_1+1}{y_1})$ 是否对偶数和奇数周期长度 $L$ 均能生成给出佩尔方程解的渐近分数 $\frac{p_{kL-1}}{q_{kL-1}}$？
• RQ5 该框架能否作为计算佩尔方程 $x^2 - dy^2 = 1$ 的所有整数解的替代算法方法？

主要发现

• Rédei有理函数 $Q_n(d,z)$ 满足乘法性质 $Q_{nm}(d,z) = Q_n(d, Q_m(d,z))$，使得通过函数迭代可系统生成高阶解。
• 变换 $\tau(x,y) = \frac{1+x}{y}$ 将佩尔双曲线 $H_d$ 上的点映射到 $\mathbb{R}^\infty$，其中群运算 $\odot_d$ 对应于Rédei函数下的指数运算。
• 对于佩尔方程的任意解 $(x_1, y_1)$，有 $Q_{2n}(d, \frac{x_1+1}{y_1}) = \frac{p_{kL-1}}{q_{kL-1}}$，其中若 $L$ 为偶数则 $k = n$，若 $L$ 为奇数则 $k = 2n$，从而生成所有能给出解的渐近分数。
• 恒等式 $\left(\frac{1+x}{y}\right)^{n_{\odot_d}} = Q_n\left(d, \frac{1+x}{y}\right)$ 成立，将 $\mathbb{R}^\infty$ 上的群运算与Rédei函数的取值联系起来。
• 该方法提供了一种完整且系统化的方法，仅通过Rédei有理函数和初始最小解即可生成佩尔方程 $x^2 - dy^2 = 1$ 的所有整数解。
• 该框架揭示了佩尔方程的解恰好是通过 $Q_{2n}(d, \frac{x_1+1}{y_1})$ 得到的 $\frac{p_{kL-1}}{q_{kL-1}}$ 值，其中 $k$ 由周期长度 $L$ 的奇偶性决定。