[论文解读] Solving the signed Roman domination and signed total Roman domination problems with exact and heuristic methods

Vladimir Filipović, Dragan Matić+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2022

Constraint Satisfaction and Optimization被引用 5

一句话总结

本文提出了求解符号罗马支配问题（SRDP）和符号全罗马支配问题（STRDP）的精确与启发式方法，采用两种混合整数线性规划（ILP）模型、约束规划（CP）和可变邻域搜索（VNS）。ILP模型在大多数小规模和中等规模实例中表现最优，能够找到最优解，其中New1 ILP模型在网格图和递归图上表现尤为出色。

ABSTRACT

In this paper we deal with the signed Roman domination and signed total Roman domination problems. For each problem we propose two integer linear programming (ILP) formulations, the constraint programming (CP) formulation and variable neighborhood search (VNS) method. We present proofs for the correctness of the ILP formulations and a polyhedral study in which we show that the polyhedrons of the two model relaxations are equivalent. VNS uses specifically designed penalty function that allows the appearance of slightly infeasible solutions. The acceptance of these solutions directs the overall search process to the promising areas in the long run. All proposed approaches are tested on the large number of instances. Experimental results indicate that all of them reach optimal solutions for the most of small and middle scale instances. Both ILP models have proven to be more successful than the other two methods.

研究动机与目标

• 为解决图中符号罗马支配问题（SRDP）和符号全罗马支配问题（STRDP）的计算挑战。
• 开发并比较多种精确与启发式方法，以提升NP难问题的解质量与求解效率。
• 验证整数规划、约束规划与可变邻域搜索在基准实例上的有效性。
• 评估所提方法在不同图类型（包括网格图、二分图、随机图和递归图）上的性能表现。
• 全面比较各类方法在解质量、最优性间隙与计算时间方面的表现。

提出的方法

• 为SRDP和STRDP提出两种新型混合整数线性规划（ILP）模型，提供正确性形式化证明，并证明其松弛形式在多面体上的等价性。
• 通过将支配函数映射为变量，并基于问题条件直接推导约束，应用约束规划（CP）。
• 可变邻域搜索（VNS）采用结构化的邻域变换机制，通过增减顶点对上的值来探索解空间。
• 引入自定义惩罚函数，允许接受轻微不可行解，以跳出局部最优并引导搜索向有希望区域推进。
• VNS方法根据解质量动态调整邻域，提升局部搜索效率。
• 所有方法在包含352个实例的大型基准集上进行评估，涵盖二分图、网格图、平面图、随机图和递归图等多种图类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不同图实例上，求解符号罗马支配问题（SRDP）和符号全罗马支配问题（STRDP）时，不同精确与启发式方法的性能如何比较？
• RQ2 两种ILP模型在最优性与计算效率方面，相较于CP和VNS的优越程度如何？
• RQ3 所提出的带惩罚函数的VNS能否有效导航解空间，尤其在大规模实例中找到高质量解？
• RQ4 各类方法在不同图类型上的表现如何，特别是在可扩展性与解质量方面的差异？
• RQ5 模型结构与公式化方式对ILP松弛的多面体性质及解质量有何影响？

主要发现

• 两种ILP模型在最优性方面优于CP与VNS，在SRDP中找到287个最优解（共352个实例），在STRDP中找到262个最优解（共352个实例）。
• 对于SRDP，VNS找到241个最优解，CP找到209个，而两种ILP模型显著优于二者。
• 对于STRDP，New1 ILP模型在网格图上171个实例中实现169个最优解，显示出在结构化实例上的强大性能。
• 在递归图上，ILP模型找到全部7个最优解，而VNS与CP各仅找到4个。
• 对于大规模实例（100个以上顶点），尤其在二分图与随机图中，尽管受时间和内存限制，ILP模型仍保持显著优势。
• 在大规模实例中，VNS优于CP，平均解质量更优，且在大多数图类型上保持更低的平均计算时间。