[论文解读] Solving the Steiner Tree Problem in Graphs using Physarum-inspired Algorithms

Yahui Sun|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2019

Slime Mold and Myxomycetes Research参考文献 38被引用 5

一句话总结

本文提出了两种受*Physarum polycephalum*启发的算法——MS³-PO 和 HMS³-PO，用于求解图上的Steiner树问题（STPG）。这些算法模拟了*Physarum polycephalum*原 protoplasm 流动的动力学，以演化出最小成本的Steiner树，在小规模实例上平均误差为0.19%，在大规模实例上（最多10,000个顶点）平均误差为3.69%，优于遗传算法（GA）、离散粒子群优化（DPSO）以及SPH启发式算法。

ABSTRACT

Some biological experiments show that the tubular structures of Physarum polycephalum are often analogous to those of Steiner trees. Therefore, the emerging Physarum-inspired Algorithms (PAs) have the potential of computing Steiner trees. In this paper, we propose two PAs to solve the Steiner Tree Problem in Graphs (STPG). We apply some widely-used artificial and real-world VLSI design instances to evaluate the performance of our PAs. The experimental results show that: 1) for instances with hundreds of vertices, our first PA can find feasible solutions with an average error of 0.19%, while the Genetic Algorithm (GA), the Discrete Particle Swarm Optimization (DPSO) algorithm and a widely-used Steiner tree approximation algorithm: the Shortest Path Heuristic (SPH) algorithm can only find feasible solutions with an average error above 4.96%; and 2) for larger instances with up to tens of thousands of vertices, where our first PA, GA and DPSO are too slow to be used, our second PA can find feasible solutions with an average error of 3.69%, while SPH can only find feasible solutions with an average error of 6.42%. These experimental results indicate that PAs can compute Steiner trees, and it may be preferable to apply our PAs to solve STPG in some cases.

研究动机与目标

• 为在大规模真实图（尤其是VLSI设计中）高效求解NP难的图上Steiner树问题（STPG）提供解决方案。
• 基于*Physarum polycephalum*的生物行为，开发受自然启发的算法，其天然形成的管状网络与Steiner树具有类比性。
• 克服先前受*Physarum*启发算法的局限性，如在大规模图上失效、假设边权均匀，或在标准基准测试中缺乏竞争力。
• 在真实世界和人工VLSI设计实例上，将所提算法与广泛使用的启发式算法（如GA、DPSO和SPH）进行对比评估。
• 证明受*Physarum*启发的算法可在保证高质量解的同时，实现具有竞争力的运行时间性能，尤其在传统元启发式算法变得不可行的大规模图中表现突出。

提出的方法

• MS³-PO算法将图建模为流网络，其中边的导电性通过改进的Hagen-Poiseuille方程演化，模拟基于压差的原 protoplasm 流动与导管增厚过程。
• 边的导电性通过微分方程 $ \frac{d}{dt}D_{ij} = \alpha |Q_{ij}| - \mu D_{ij} $ 更新，其中 $ Q_{ij} $ 是由边 $ (i,j) $ 上压差导出的流量，$ D_{ij} $ 表示导管厚度。
• 算法初始化时设置多个源节点和单一汇点，通过强化高流量路径，使系统演化为最小成本的Steiner树。
• HMS³-PO算法引入分层分解策略：根据终端聚类将图划分为子图，递归地在每个子图上应用MS³-PO，随后合并解。
• 分层方法降低了计算复杂度，使算法可扩展至包含数万个顶点的大规模图。
• 通过在子图数量等于终端数量时退化为最短路径启发式（SPH），该算法确保了解的质量，保证至少达到SPH水平的性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 受*Physarum*启发的算法能否在具有数百个顶点的图中有效计算出近似最优的Steiner树，并优于GA和DPSO等成熟启发式算法？
• RQ2 受*Physarum*启发的算法能否扩展至大规模图（最多数万个顶点），在传统元启发式算法变得计算不可行的场景下仍保持可行性？
• RQ3 HMS³-PO中的分层分解策略是否在保持解质量的同时，实现了对大规模VLSI设计实例的可扩展性？
• RQ4 所提受*Physarum*启发的算法在标准基准实例上与广泛使用的SPH启发式算法相比，性能在数量上如何？
• RQ5 能否将*Physarum polycephalum*网络形成的生物类比形式化映射为一种稳健、可扩展且高性能的STPG算法？

主要发现

• 在具有数百个顶点的小规模VLSI设计实例上，MS³-PO的平均误差为0.19%，显著优于GA（28.72%误差）、DPSO（279.05%误差）和SPH（4.96%误差）。
• MS³-PO在17个小型实例中有14个找到了精确的Steiner最小生成树（SMT），而GA、DPSO和SPH分别仅找到2个、0个和3个SMT。
• 在最大达10,393个顶点的大规模VLSI设计实例上，HMS³-PO的平均误差为3.69%，优于SPH的平均误差6.42%。
• HMS³-PO在所有实例中均保证至少达到SPH水平的性能，因为当子图数量等于终端数量时，其会退化为SPH。
• HMS³-PO在合理时间内成功求解了SteinLib库中的全部22个大规模基准实例，证明了其在大规模图上的可扩展性。
• 结果表明，受*Physarum*启发的算法可作为STPG的有力替代方案，尤其在GA和DPSO因速度过慢而不可行的大规模图中更具优势。