[论文解读] Solving Two Dimensional H(curl)-elliptic Interface Systems with Optimal Convergence On Unfitted Meshes

Ruchi Guo, Yanping Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 44被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新型的 H(curl)-符合的浸入有限元（IFE）方法，采用最低阶的 Nédélec 单元，在非拟合网格上求解二维 Maxwell 界面问题。通过构造特殊的 IFE 函数，以弱形式强制满足材料界面上的跳跃条件，并采用标准 Nédélec 函数作为测试函数的 Petrov-Galerkin 格式，该方法在 H(curl) 范数下实现了最优收敛率，其理论分析与数值实验均予以验证。

ABSTRACT

In this article, we develop and analyze a finite element method with the first family Nédélec elements of the lowest degree for solving a Maxwell interface problem modeled by a $\mathbf{H}( ext{curl})$-elliptic equation on unfitted meshes. To capture the jump conditions optimally, we construct and use $\mathbf{H}( ext{curl})$ immersed finite element (IFE) functions on interface elements while keep using the standard Nédélec functions on all the non-interface elements. We establish a few important properties for the IFE functions including the unisolvence according to the edge degrees of freedom, the exact sequence relating to the $H^1$ IFE functions and the optimal approximation capabilities. In order to achieve the optimal convergence rates, we employ a Petrov-Galerkin method in which the IFE functions are only used as the trial functions and the standard Nédélec functions are used as the test functions which can eliminate the non-conformity errors. We analyze the inf-sup conditions under certain conditions and show the optimal convergence rates which are also validated by numerical experiments.

研究动机与目标

• 开发一种在非拟合网格上求解 H(curl)-椭圆界面问题的有限元方法，避免对界面拟合三角剖分的需求。
• 构造 H(curl)-符合的浸入有限元函数，以弱形式满足材料界面上电场与旋度分量的跳跃条件。
• 在 Maxwell 方程的背景下，建立 IFE 函数的唯一可解性、精确序列性质以及最优逼近能力。
• 通过采用 Petrov-Galerkin 格式，利用标准 Nédélec 函数作为测试函数，证明最优收敛率，从而消除非协调误差。

提出的方法

• 该方法在非界面单元上使用最低阶第一类 Nédélec 单元（边元），并在界面单元上构造特殊的 H(curl)-符合 IFE 函数，以捕捉跳跃条件。
• IFE 函数的设计基于界面跳跃条件，弱形式地满足电场的切向连续性以及磁通密度（旋度分量）的法向连续性。
• 采用 Petrov-Galerkin 框架，其中 IFE 函数作为试函数，标准 Nédélec 函数作为测试函数，从而消除非协调误差并实现最优收敛。
• 构造过程涉及通过几何分解将界面单元划分为条带，进而在每条条带上应用局部 Friedrichs 型不等式。
• 分析依赖于几何估计、迹不等式，以及条带数量在界面位置变化下保持有界，从而确保稳定性与最优逼近。

实验结果

研究问题

• RQ1 H(curl)-符合的有限元方法是否能在非拟合网格上实现 Maxwell 界面问题的最优收敛率？
• RQ2 如何构造 IFE 函数，使其在弱形式下满足跳跃条件的同时，保持与边自由度相关的唯一可解性与精确序列性质？
• RQ3 Petrov-Galerkin 格式在使用 IFE 试函数于非拟合网格时，如何消除非协调误差？
• RQ4 在界面单元的几何分解中，条带数量是否可统一有界，无论界面位置如何，从而确保方法的鲁棒性？
• RQ5 为建立离散问题的 inf-sup 条件，需要满足哪些假设，以确保问题的适定性与最优收敛？

主要发现

• 所提出的 IFE 函数相对于边自由度是唯一可解的，确保了离散空间的定义良好。
• IFE 函数与 H1-符合的 IFE 函数构成精确序列，保持了有限元空间的重要结构性质。
• 该方法在 H(curl) 范数下实现了最优收敛率，误差界与 h 成正比：解的 L2 范数误差为 O(h)，H(curl) 半范数误差也为 O(h)。
• 由于几何参数 δ1 与 δ2 的下界存在，界面单元几何分解中使用的条带数量在界面位置变化下保持统一有界。
• 在对网格与界面几何作若干假设的前提下，建立了 inf-sup 条件，确保了离散问题的适定性。
• 数值实验验证了理论收敛率，证实了该方法在非拟合网格上的最优性能。