[论文解读] Solving two-point boundary value problems using generating functions: Theory and Applications to optimal control and the study of Hamiltonian dynamical systems

Vincent Guibout, Daniel J. Scheeres|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2003

Adaptive Dynamic Programming Control参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于生成函数的方法，通过利用哈密顿-雅可比理论和由相流诱导的正则变换，求解哈密顿系统中的两点边值问题。该方法可高效、直接地求解最优控制问题及相空间结构分析（如周期轨道和平衡点），无需初始猜测，适用于航天器编队飞行和轨迹设计。

ABSTRACT

A methodology for solving two-point boundary value problems in phase space for Hamiltonian systems is presented. Using Hamilton-Jacobi theory in conjunction with the canonical transformation induced by the phase flow, we show that the generating functions for this transformation solve any two-point boundary value problem in phase space. Properties of the generating functions are exposed, we especially emphasize multiple solutions, singularities, relations with the state transition matrix and symmetries. Then, we show that using Hamilton's principal function we are also able to solve two-point boundary value problems, nevertheless both methodologies have fundamental differences that we explore. Finally, we present some applications of this theory. Using the generating functions for the phase flow canonical transformation we are able to solve the optimal control problem (without an initial guess), to study phase space structures in Hamiltonian dynamical systems (periodic orbits, equilibrium points) and classical targeting problems (this last topic finds its applications in the design of spacecraft formation trajectories, reconfiguration, formation keeping, etc...).

研究动机与目标

• 解决传统打靶法在求解多个两点边值问题时效率低下的问题，特别是在需要 n! 条轨迹解的多航天器编队任务中。
• 开发一种系统化方法，利用由哈密顿-雅可比方程导出的生成函数，求解 n 自由度哈密顿系统的任意相空间两点边值问题。
• 实现哈密顿动力系统中轨迹、周期轨道和平衡点的直接计算，无需迭代修正初始猜测。
• 将生成函数的应用扩展到最优控制问题，为标准打靶法提供一种非迭代、解析的替代方案。
• 为求解复杂天体力学问题（如兰伯特问题和动量空间边值问题）提供理论与计算框架。

提出的方法

• 利用哈密顿-雅可比理论推导出表示哈密顿系统相流诱导正则变换的生成函数。
• 离线求解哈密顿-雅可比方程以获得生成函数，进而将任意两点边值问题的初始状态映射到终态。
• 将哈密顿主函数作为替代生成函数，比较其与基于相流的生成函数在性质和局限性方面的异同。
• 通过在指定边界条件下求值生成函数来计算轨迹，从而避免数值积分和迭代求解器。
• 利用生成函数中的对称性和奇点分析相空间的多重解和结构特征。
• 在实际应用中实现该方法，如通过在相空间局部收敛的数值算法求解最优控制和周期轨道计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用哈密顿-雅可比方程导出的生成函数在无需初始猜测的情况下求解哈密顿系统中的两点边值问题？
• RQ2 基于相流的生成函数与基于哈密顿主函数的解在结构、多重解和奇点方面有何异同？
• RQ3 生成函数中的奇点和对称性对边值问题中解的存在性和多重性有何影响？
• RQ4 该方法在航空航天系统最优控制问题中的适用程度如何，特别是在航天器编队飞行中？
• RQ5 该框架能否高效计算哈密顿系统（如限制性三体问题）中的周期轨道和平衡点？

主要发现

• 基于相流正则变换的生成函数通过求解哈密顿-雅可比方程，可将初始状态映射到终态，从而求解相空间中的任意两点边值问题。
• 该方法可直接求解最优控制问题，无需迭代修正，已在航天器编队轨迹应用中得到验证。
• 当生成函数中存在奇点或对称性时，多重解可自然地通过其结构被捕获。
• 生成函数与线性系统中的状态转移矩阵相关联，为线性化动力学与非线性解之间建立了几何与分析上的联系。
• 在圆形限制性三体问题和希尔问题中的应用成功计算出周期轨道和平衡点，数值结果通过解集图示得到验证。
• 一旦生成函数预先计算完成，该方法以 m 次函数求值的代价求解 m 个边值问题，计算效率高，适用于多航天器任务。