[论文解读] Solving unconstrained 0-1 polynomial programs through quadratic convex reformulation

Sourour Elloumi, Amélie Lambert+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2019

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 46被引用 21

一句话总结

该论文提出PQCR，一种用于求解无约束二元多项式规划的三阶段精确方法，通过二次凸重构将问题转化为凸二次规划。该方法在具有挑战性的实例上实现了更优的边界和更小的最优性间隙，成功求解了6个此前未解决的低自相关二元序列问题，并改进了另外27个实例的边界。

ABSTRACT

We propose a solution approach for the problem (P) of minimizing an unconstrained binary polynomial optimization problem. We call this method PQCR (Polynomial Quadratic Convex Reformulation). The resolution is based on a 3-phase method. The first phase consists in reformulating (P) into a quadratic program (QP). For this, we recursively reduce the degree of (P) to two, by use of the standard substitution of the product of two variables by a new one. We then obtain a linearly constrained binary program. In the second phase, we rewrite the quadratic objective function into an equivalent and parametrized quadratic function using the equality x 2 i = x i and new valid quadratic equalities. Then, we focus on finding the best parameters to get a quadratic convex program which continuous relaxation's optimal value is maximized. For this, we build a semidefinite relaxation (SDP) of (QP). Then, we prove that the standard linearization inequalities, used for the quadratization step, are redundant in (SDP) in presence of the new quadratic equalities. Next, we deduce our optimal parameters from the dual optimal solution of (SDP). The third phase consists in solving (QP *), the optimal reformulated problem, with a standard solver. In particular, at each node of the branch-and-bound, the solver computes the optimal value of a continuous quadratic convex program. We present computational results on instances of the image restoration problem and of the low autocorrelation binary sequence problem. We compare PQCR with other convexification methods, and with the general solver Baron 17.4.1 [39]. We observe that most of the considered instances can be solved with our approach combined with the use of Cplex [24].

研究动机与目标

• 解决具有非凸、离散目标函数的无约束二元多项式规划的NP难问题。
• 开发一种定制化的凸化方法，在困难实例上优于通用求解器和现有凸化技术。
• 通过一种针对二次化问题结构的新型半定规划松弛，改进连续松弛边界。
• 在最优重构后，利用标准求解器实现大规模二元多项式规划的精确全局优化。
• 研究不同二次化策略对凸重构质量及求解效率的影响。

提出的方法

• 第一阶段：通过递归地将变量乘积替换为新二元变量，对原始多项式问题进行二次化，将问题转化为线性约束的二元二次规划（QP）。
• 第二阶段：引入新的有效二次等式（例如 $x_i^2 = x_i$ 及由二次化导出的附加恒等式），对QP的目标函数进行参数化。
• 构建QP的新半定规划（SDP）松弛，以计算使连续松弛边界最大化最优参数。
• 证明当包含这些新二次等式时，标准线性化不等式为冗余，从而改进SDP公式。
• 从SDP松弛的对偶解中推导最优参数，以构造等价的凸二次规划（QP*）。
• 第三阶段：使用标准分支定界求解器求解最优重构后的凸QP*，利用凸性实现高效的节点优化。

实验结果

研究问题

• RQ1 定制化的二次凸重构策略能否显著提升无约束二元多项式规划的连续松弛边界？
• RQ2 二次化方法的选择如何影响所得凸松弛的紧致性及求解性能？
• RQ3 所提出的PQCR方法能否在二元多项式规划基准实例上优于通用全局求解器Baron？
• RQ4 对识别‘重要’二次等式的预处理对SDP求解阶段效率有何影响？
• RQ5 PQCR在多大程度上能够求解此前未解决的低自相关二元序列问题实例？

主要发现

• PQCR成功求解了minlplib中45个未解决实例的低自相关二元序列（LABS）问题集中的6个，这些实例此前未被报告为已解决。
• 对于其余27个未解决或部分解决的LABS实例，PQCR同时改进了原始解和对偶边界，表明边界质量得到提升。
• PQCR的连续松弛边界始终优于其他二次化方法（PC1、PC2、PC3）所得边界，最佳结果由所提出的二次化策略实现。
• 平均而言，求解SDP松弛占总CPU时间的75%，表明需要通过预处理识别关键等式以加速此阶段。
• 在测试实例上，该方法在边界改进和求解质量方面显著优于通用求解器Baron。
• 作者观察到，二次化后问题中的变量数（N）和SDP边界质量（LB_i）强烈受二次化选择的影响，其中PC3在某些情况下表现出竞争力。