[论文解读] Solving various NP-Hard problems using exponentially fewer qubits on a Quantum Computer

Yagnik Chatterjee, Eric Bourreau+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文提出了一种对数量子比特编码方法，使基于门的量子计算机能够以比经典方法少得多的量子比特数量，解决各种NP难组合优化问题，如最大割、最小划分、最大团和最大权独立集问题。通过将问题重新表述为与对数编码方案兼容的QUBO框架，作者实现了迄今为止最大的真实世界量子运行，成功在真实量子硬件上执行了256个节点的最大割问题和64个对象的最小划分问题。

ABSTRACT

NP-hard problems are not believed to be exactly solvable through general polynomial time algorithms. Hybrid quantum-classical algorithms to address such combinatorial problems have been of great interest in the past few years. Such algorithms are heuristic in nature and aim to obtain an approximate solution. Significant improvements in computational time and/or the ability to treat large problems are some of the principal promises of quantum computing in this regard. The hardware, however, is still in its infancy and the current Noisy Intermediate Scale Quantum (NISQ) computers are not able to optimize industrially relevant problems. Moreover, the storage of qubits and introduction of entanglement require extreme physical conditions. An issue with quantum optimization algorithms such as QAOA is that they scale linearly with problem size. In this paper, we build upon a proprietary methodology which scales logarithmically with problem size - opening an avenue for treating optimization problems of unprecedented scale on gate-based quantum computers. In order to test the performance of the algorithm, we first find a way to apply it to a handful of NP-hard problems: Maximum Cut, Minimum Partition, Maximum Clique, Maximum Weighted Independent Set. Subsequently, these algorithms are tested on a quantum simulator with graph sizes of over a hundred nodes and on a real quantum computer up to graph sizes of 256. To our knowledge, these constitute the largest realistic combinatorial optimization problems ever run on a NISQ device, overcoming previous problem sizes by almost tenfold.

研究动机与目标

• 为克服现有量子优化算法（如QAOA）存在的线性量子比特扩展限制，这些限制限制了当前NISQ设备上可求解问题的规模。
• 开发一种通用量子算法，无论问题规模如何，均可仅使用O(log n)个量子比特对多种NP难组合优化问题进行编码和求解。
• 通过利用专有的对数编码技术，证明在当前含噪声中等规模量子（NISQ）硬件上运行大规模、具有工业相关性的优化问题的可行性。
• 通过约化和QUBO重表述，将对数编码方法的应用范围从最大割问题扩展到其他NP难问题。
• 通过仿真和真实量子硬件运行对方法进行实验验证，实现在通用门基量子处理器上前所未有的问题规模（最多256个节点）的突破。

提出的方法

• 核心方法采用对数量子比特编码，其中图中的每个节点通过log₂n个量子比特编码为二进制标签，将所需量子比特数量从n大幅减少至⌈log₂n⌉。
• 通过特定问题的约化将NP难问题映射到最大割问题，使同一套对数编码框架可应用于多种问题类型。
• 对于通用的无约束二次二值优化（QUBO）问题，该方法引入sQUBO表示形式，通过将QUBO矩阵转换为与算法哈密顿量结构兼容的形式，实现与对数编码的直接集成。
• 量子线路采用变分量子方法实现，使用经典优化器（如COBYLA或遗传算法）迭代调整参数，以最小化问题哈密顿量的期望值。
• 通过泡利弦分解计算可观测量的期望值，其中哈密顿量表示为泡利矩阵张量积的和，从而实现在NISQ设备上的基于测量的能量估计。
• 该方法在量子模拟器（最多100+个节点）和真实量子硬件（IBM Osprey，最多256个节点）上进行了测试，结果在不同优化器和问题实例之间进行了对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过利用对数编码，是否能够以比其经典对应物少得多的量子比特数量求解NP难优化问题？
• RQ2 对数编码方法在多大程度上可推广至最大割问题之外的其他NP难问题，如最小划分和最大团问题？
• RQ3 在当前NISQ设备上，使用该对数编码方法可实际求解的最大问题规模是多少？
• RQ4 在不同问题实例和优化器下，该算法在量子模拟器与真实量子硬件上的性能表现如何比较？
• RQ5 sQUBO表示形式是否能够实现任意QUBO问题与对数编码框架的无缝集成，而不会损失一般性或可扩展性？

主要发现

• 作者成功在真实量子硬件上求解了256个节点的最大割问题，这是迄今在通用门基量子计算机上求解的最大规模真实组合优化问题。
• 在真实硬件上求解了64个对象的最小划分问题，标志着相较于以往约25–30个对象的限制，实现了重大突破。
• 该算法在量子模拟器上对超过100个节点的问题实例实现了稳定收敛，展示了在噪声环境下的可扩展性和鲁棒性。
• 使用COBYLA等经典优化器以及遗传算法，在所有测试问题规模下均实现了稳定且可测量的解决方案质量提升。
• 该方法将所需量子比特数量从n减少至⌈log₂n⌉，使得仅用8个量子比特即可编码最多256个节点的问题，量子比特数量减少了32倍。
• 结果表明，使用该对数编码时，更小但保真度更高的量子设备可优于更大但噪声更严重的设备，原因在于电路深度更短且SWAP门更少。