[论文解读] Solving Vertex Cover in Polynomial Time on Hyperbolic Random Graphs

Thomas Bläsius, Philipp Fischbeck+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2019

Advanced Graph Neural Networks被引用 6

一句话总结

本文证明，在高概率下，NP-难的顶点覆盖问题可在双曲随机图上以多项式时间求解，这得益于其幂律度分布和高聚类等结构性质。关键洞见在于，主导性约简规则——尤其是针对高阶度顶点的规则——能迅速将图缩减为一个路径宽较低的小型剩余图，从而通过动态规划或暴力搜索实现高效精确求解。

ABSTRACT

The VertexCover problem is proven to be computationally hard in different ways: It is NP-complete to find an optimal solution and even NP-hard to find an approximation with reasonable factors. In contrast, recent experiments suggest that on many real-world networks the run time to solve VertexCover is way smaller than even the best known FPT-approaches can explain. Similarly, greedy algorithms deliver very good approximations to the optimal solution in practice. We link these observations to two properties that are observed in many real-world networks, namely a heterogeneous degree distribution and high clustering. To formalize these properties and explain the observed behavior, we analyze how a branch-and-reduce algorithm performs on hyperbolic random graphs, which have become increasingly popular for modeling real-world networks. In fact, we are able to show that the VertexCover problem on hyperbolic random graphs can be solved in polynomial time, with high probability. The proof relies on interesting structural properties of hyperbolic random graphs. Since these predictions of the model are interesting in their own right, we conducted experiments on real-world networks showing that these properties are also observed in practice. When utilizing the same structural properties in an adaptive greedy algorithm, further experiments suggest that, on real instances, this leads to better approximations than the standard greedy approach within reasonable time.

研究动机与目标

• 解释尽管顶点覆盖问题是NP-难的，为何在实际中能如此高效求解。
• 研究现实世界网络的结构性质，以解释为何顶点覆盖在实际中可解。
• 使用双曲随机图形式化这些性质，以分析算法性能。
• 设计并评估一种自适应贪心算法，以在现实世界网络中获得更优的近似比。

提出的方法

• 使用双曲随机图建模现实世界网络，其天然具备幂律度分布和高聚类特性。
• 分析主导性约简规则：若某顶点的邻域包含其自身及其所有邻居，则可将其移除。
• 证明在高概率下，单次应用主导性规则可将双曲随机图缩减为路径宽较低的剩余图。
• 利用双曲空间的几何性质，界定极有可能成为主导顶点的顶点的半径和度数。
• 设计一种k-自适应贪心算法，仅在剩余顶点的度数≤k时应用标准贪心选择，之后对小连通分量进行精确求解。
• 使用树宽启发式方法和近似比度量，在47个真实世界网络上评估该算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何分支限界-约简算法在现实世界网络上求解顶点覆盖问题如此迅速，尽管其理论复杂度较高？
• RQ2 异质度分布和高聚类等结构性质在多大程度上解释了顶点覆盖求解器的实际效率？
• RQ3 能否在捕捉现实世界网络特征的随机图模型中，对主导性约简规则提供理论支持？
• RQ4 如何对贪心算法进行改进，以在具有幂律度分布和高聚类特性的网络中获得更优的近似比？
• RQ5 双曲随机图的结构性预测是否与现实世界网络中的经验观察一致？

主要发现

• 在双曲随机图上，由于主导性规则的快速约简，顶点覆盖可在高概率下以多项式时间求解。
• 在47个真实世界网络中，超过82%的度数高于α/(α−1/2)·log n的顶点为主导顶点，且在简单实例中该比例达99%。
• 主导性约简后，55%的网络树宽≤50，43%≤15，32%≤5，表明剩余图规模小，适合高效精确求解。
• 4-自适应贪心算法将47个网络的中位近似比从标准贪心算法的1.008降低至1.002。
• 在49%的网络中，4-自适应过滤后剩余的最大连通分量小于100个顶点，使得暴力搜索求解成为可行方案。
• 使用4-自适应贪心方法后，最优解可求解的网络数量从4个增至7个。