[论文解读] Solving $x^{2^k+1}+x+a=0$ in $\mathbb{F}_{2^n}$ with $\gcd(n,k)=1$

K. H. Kim, Sihem Mesnager|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文在 $\gcd(n,k) = 1$ 的条件下，针对 $\mathbb{F}_{2^n}$ 上的方程 $x^{2^k+1} + x + a = 0$ 提供了完整解法，通过 M"uller-Cohen-Matthews 多项式与 Dickson 多项式，显式计算了所有可能的根，以 $a$ 表示。关键贡献在于全面刻画了该方程在何种情况下有 0 个、1 个或 3 个解，解决了有限域理论中长期存在的开放问题，并为所有情况提供了显式公式。

ABSTRACT

Let $N_a$ be the number of solutions to the equation $x^{2^k+1}+x+a=0$ in $\GF {n}$ where $\gcd(k,n)=1$. In 2004, by Bluher \cite{BLUHER2004} it was known that possible values of $N_a$ are only 0, 1 and 3. In 2008, Helleseth and Kholosha \cite{HELLESETH2008} have got criteria for $N_a=1$ and an explicit expression of the unique solution when $\gcd(k,n)=1$. In 2014, Bracken, Tan and Tan \cite{BRACKEN2014} presented a criterion for $N_a=0$ when $n$ is even and $\gcd(k,n)=1$. This paper completely solves this equation $x^{2^k+1}+x+a=0$ with only condition $\gcd(n,k)=1$. We explicitly calculate all possible zeros in $\GF{n}$ of $P_a(x)$. New criterion for which $a$, $N_a$ is equal to $0$, $1$ or $3$ is a by-product of our result.

研究动机与目标

• 在 $\gcd(n,k) = 1$ 的条件下，完全求解 $\mathbb{F}_{2^n}$ 上的方程 $x^{2^k+1} + x + a = 0$，此前研究仅得到部分结果。
• 为 $\mathbb{F}_{2^n}$ 中所有可能的根提供显式公式，解决关于解的数量与性质的公开问题。
• 通过代数结构与迹条件推导新判别准则，统一并拓展此前关于解数 ($N_a = 0, 1, 3$) 的结果。
• 建立根求解问题的分解：将其化为两个独立子问题——M"uller-Cohen-Matthews 多项式与 Dickson 多项式的原像计算。

提出的方法

• 利用有限域与特征 2 下的多项式恒等式性质，通过对称性将问题约化为 $k$ 为奇数的情形。
• 利用文献 [3] 中的关键多项式恒等式，将根求解问题分解为两个独立子问题：求解 M"uller-Cohen-Matthews (MCM) 多项式与 Dickson 多项式的原像。
• 通过将 MCM 多项式与 Dobbertin 多项式关联，推导出仿射方程 $x^{2^k} + x = b$ 的显式解公式，从而解决 MCM 原像问题。
• 利用 Dickson 多项式的已知性质，特别是恒等式 $D_k(x + 1/x) = x^k + x^{-k}$，解决 Dickson 多项式原像问题。
• 通过组合两个子问题的结果，构造出所有根的显式表达式，以 $a$、$k$ 和 $n$ 表示。
• 推导出迹条件，以判断 $T$ 或 $T'$ 是否属于 $\mathbb{F}_{2^n}$，从而直接确定解的数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\gcd(n,k) = 1$ 时，$a \in \mathbb{F}_{2^n}^*$ 满足何种条件，方程 $x^{2^k+1} + x + a = 0$ 在 $\mathbb{F}_{2^n}$ 中恰有唯一解？
• RQ2 方程在何时有三个不同的解？其显式形式为何？
• RQ3 方程在何时无解？其代数特征如何刻画？
• RQ4 根能否用已知的特殊多项式（如 M"uller-Cohen-Matthews 多项式与 Dickson 多项式）表示为闭合形式？

主要发现

• 当 $\gcd(n,k) = 1$ 时，方程 $x^{2^k+1} + x + a = 0$ 在 $\mathbb{F}_{2^n}$ 中恰有 0 个、1 个或 3 个解，验证了早期的猜想。
• 提供了以 $a$、$k$ 和 $n$ 表示的所有根的显式公式，使用了 M"uller-Cohen-Matthews 多项式与 Dickson 多项式。
• 当 $k$ 为奇数时，解的数量取决于 $T = 1 + \frac{1}{S_{n,k}(R_{k,k'}(a^{-q/2}))}$ 是否为 $\mu_{2^n+1}^*$ 中的立方，或是否属于 $\mathbb{F}_{2^n}$。
• 当 $k$ 为偶数时，解的数量取决于 $T' = 1 + \frac{1}{S_{n,l}(R_{l,l'}(a^{-(q')^2/2}))}$ 是否为 $\mu_{2^n+1}^*$ 中的立方，或是否属于 $\mathbb{F}_{2^n}$。
• 当 $k$ 为奇数且 $T \in \mathbb{F}_{2^n}$ 时，方程有唯一解，其表达式为 $\frac{(c + 1/c)^{q-1}}{Y T_k(1/Y)^{2/q}}$，其中 $c = T^{(q+1)^{-1} \mod 2^n - 1}$ 且 $Y = T + 1/T$。
• 结果恢复并推广了 Helleseth 与 Kholosha (2008) 及 Bracken 等人 (2014) 的先前判别准则，将它们统一于同一理论框架之下。