[论文解读] Sombor Index of Polymers

‎Saeid Alikhani, Nima Ghanbari|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2021

Graph theory and applications参考文献 13被引用 11

一句话总结

本文推导出由点连接单体单元构成的多种聚合物图的Sombor指数的精确公式，包括螺链、间链、聚苯撑、三角烷和纳米树状聚合物。通过基于顶点度的求和方法，建立了这些指数的闭式表达式，展示了其在化学与材料科学中分子结构-性质关系预测方面的高精度。

ABSTRACT

Let $G=(V,E)$ be a finite simple graph. The Sombor index $SO(G)$ of $G$ is defined as $\sum_{uv\in E(G)}\sqrt{d_u^2+d_v^2}$, where $d_u$ is the degree of vertex $u$ in $G$. Let $G$ be a connected graph constructed from pairwise disjoint connected graphs $G_1,\ldots ,G_k$ by selecting a vertex of $G_1$, a vertex of $G_2$, and identifying these two vertices. Then continue in this manner inductively. We say that $G$ is a polymer graph, obtained by point-attaching from monomer units $G_1,...,G_k$. In this paper, we consider some particular cases of these graphs that are of importance in chemistry and study their Sombor index.

研究动机与目标

• 推导用于化学与材料科学中复杂聚合物图的Sombor指数的精确解析表达式。
• 研究由单体单元（如完全图和环）构成的点连接图中Sombor指数的行为。
• 建立Sombor指数与螺链、间链和树状聚合物等聚合物族分子拓扑之间的数学关系。
• 展示Sombor指数作为预测分子图中物理化学性质的可靠拓扑描述符的实用性。

提出的方法

• 将聚合物图定义为连通单体单元 $G_1, \ldots, G_k$ 的点连接并集，其中各组件之间的顶点被识别。
• 应用Sombor指数公式 $SO(G) = \sum_{uv \in E(G)} \sqrt{d_u^2 + d_v^2}$，基于边的度对计算指数。
• 使用递归构造与分解技术，推导特定聚合物族的闭式表达式。
• 通过组合计数特定度对的边（例如，2–2、2–3、3–3）来高效计算指数。
• 利用已知图论结果（例如，来自 [8]）在推导过程中对指数值进行边界限定与验证。
• 通过分析 $Q(m,n)$、$S_{q,h,k}$、$L_{q,h,k}$、$T_k$ 和 $D_k[n]$ 等图的结构来验证结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 将 $m$ 个 $K_n$ 复制点连接到一个中心 $K_m$ 上所形成的聚合物图的Sombor指数的确切值是多少？
• RQ2 在由不同接触距离的环构成的螺链和间链中，Sombor指数如何变化？
• RQ3 三角烷和纳米树状聚合物族的Sombor指数的闭式表达式是什么？
• RQ4 不同聚合物拓扑结构的Sombor指数值如何比较？其基于度的边贡献中存在何种模式？
• RQ5 Sombor指数能否作为复杂聚合物结构中分子性质的可靠预测指标？

主要发现

• 对于图 $Q(m,n)$，Sombor指数为 $SO(Q(m,n)) = \frac{m(m-1)}{2} \cdot \sqrt{2}(m+n-2) + m(n-1)\sqrt{(m+n-2)^2 + (n-1)^2} + m(n-1)(\frac{n}{2}-1) \cdot \sqrt{2}(n-1)$。
• 对于间链 $M_n$，Sombor指数为 $SO(M_n) = (2n-1)\sqrt{2} + 2(n-1)\sqrt{13}$。
• 对于聚苯撑 $L_{q,h,k}$（当 $h \geq 2$ 时），Sombor指数为 $SO(L_{q,h,k}) = (2qk - 5k + 5)\sqrt{2} + (4k - 4)\sqrt{13}$。
• 对于聚苯撑 $L_{q,1,k}$，Sombor指数为 $SO(L_{q,1,k}) = (2qk - 5)\sqrt{2} + 2k\sqrt{13}$。
• 对于三角烷 $T_k$，Sombor指数为 $SO(T_k) = (36(2^{k-1} - 1) + 6 \cdot 2^{k-1} + 12)\sqrt{2} + 6 \cdot 2^k \sqrt{5}$。
• 对于纳米树状聚合物 $D_3[n]$，Sombor指数为 $SO(D_3[n]) = (63 \cdot 2^n - 30)\sqrt{2} + (18 \cdot 2^n - 12)\sqrt{13}$。