[论文解读] Some 3-manifold groups with the same finite quotients

John Hempel|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用 19

一句话总结

本文构造了非同胚的3-流形——具体为有理欧拉示性数为零的Seifert纤维化空间——其基本群具有相同的有限商群，因此具有同构的广义完备化，尽管它们本身并不同构。此外，研究还表明，对于带边界的流形，同构的基本群可能产生不同的周界结构，但其有限周界对商群相同，从而说明仅靠有限商群无法区分此类3-流形群及其边界数据。

ABSTRACT

We give examples of closed, oriented 3-manifolds whose fundamental groups are not isomorphic, but yet have the same sets of finite quotient groups; hence the same profinite completions. We also give examples of compact, oriented 3-manifolds with non-empty boundaries whose fundamental groups though isomorphic have distinct peripheral structures, but yet have the same sets of finite peripheral pair quotients (defined below). The examples are Seifert Fibered Spaces with zero rational Euler number; moreover most of these manifolds give rise to such examples.

研究动机与目标

• 构造闭合、定向的3-流形，其基本群非同构但具有完全相同的有限商群集合。
• 证明广义完备化本身无法区分某些非同构的3-流形群。
• 将分析扩展至具有非空边界的紧致3-流形，表明同构的基本群可能具有非同构的周界结构，但其有限周界对商群相同。
• 通过具有周期性单值变换的曲面丛（特别是有理欧拉数为零的Seifert纤维化空间）提供显式例子。
• 阐明广义不变量在分类3-流形群时的局限性，特别是在几何化与剩余有限性背景下。

提出的方法

• 使用半直积构造：π₁(Mϕ) ≅ A ⋊ψ ℤ，其中A为曲面的基本群，ψ为周期性自同构。
• 利用当k与ord(ψ)互素时，群Gψ × ℤ与Gψᵏ × ℤ同构，从而具有相同的有限商群。
• 应用群论结果（Baumslag）：若G × ℤ ≅ H × ℤ，则G与H具有相同的有限商群。
• 通过群对(G, H)的有限商群分析周界结构，其中H为边界基本群在包含映射下的像。
• 使用具有有限阶的曲面单值变换ϕ，并考虑ϕᵏ（其中k与ord(ϕ)互素），证明π₁(Mϕᵏ) × ℤ ≅ π₁(Mϕ) × ℤ。
• 利用如下事实：对于具有一个边界分量的曲面，周界对(π₁(Mϕ), i∗(π₁(∂Mϕ)))在对同构意义下是良定义的。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个非同构的3-流形群能否具有相同的有限商群，从而导致其广义完备化同构？
• RQ2 具有零有理欧拉数的Seifert纤维化空间是否能提供此类非同构群具有相同有限商群的例子？
• RQ3 同构的基本群的3-流形（带边界）能否产生不同的周界结构，但其有限周界对商群相同？
• RQ4 单值自同构的阶及其幂在决定基本群的广义类型中起什么作用？
• RQ5 是否存在超越广义完备化的几何或拓扑不变量，可用于区分此类3-流形？

主要发现

• 对于任意周期性、保向的闭合、定向曲面F的自同胚ϕ，以及与ord(ϕ)互素的k，群π₁(Mϕ)与π₁(Mϕᵏ)具有相同的有限商群，即使它们不彼此同构。
• π₁(Mϕ)与π₁(Mϕᵏ)的广义完备化同构，表明广义完备化无法区分这些非同构的3-流形群。
• 对于带边界的流形（一个边界分量），π₁(Mϕ)与π₁(Mϕᵏ)同构，但其周界结构不同，除非k ≡ ±1 mod ord(ϕ)。
• 尽管基本群同构且周界结构不同，其周界群对的有限商群仍完全相同，如定理1.2所示。
• 在透镜空间中扭结补（Seifert纤维化于S²上具有两个奇点的纤维化空间）的情形下，存在φ(α₁α₂)/2个不同的流形，其基本群同构，且具有相同的有限周界对商群，但周界系统不同构。
• 这些流形互为循环覆盖，且它们嵌入的最小透镜空间可从拓扑上区分它们，尽管它们在有限商群下无法区分。