[论文解读] Some algebraic invariants of edge ideal of circulant graphs

Giancarlo Rinaldo|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2017

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 5被引用 8

一句话总结

本文研究当 $n$ 为素数时，循环图 $C_n(S)$ 的边理想代数不变量。在科恩-麦克aul伊条件之下，计算了正则性指数与卡斯特尔努奥夫-穆尔福迪正则性，证明了 $C_n(\{1,\ldots,s\})$ 的序 $S_2$ 性质，并通过组合与同调方法，完全刻画了克鲁尔维数为 2 的科恩-麦克aul伊循环图，计算了其科恩-麦克aul伊型与正则性。

ABSTRACT

Let $G$ be the circulant graph $C_n(S)$ with $S\subseteq\{ 1,\ldots,\left \lfloor\frac{n}{2} ight floor\}$ and let $I(G)$ be its edge ideal in the ring $K[x_0,\ldots,x_{n-1}]$. Under the hypothesis that $n$ is prime we : 1) compute the regularity index of $R/I(G)$; 2) compute the Castelnuovo-Mumford regularity when $R/I(G)$ is Cohen-Macaulay; 3) prove that the circulant graphs with $S=\{1,\ldots,s\}$ are sequentially $S_2$ . We end characterizing the Cohen-Macaulay circulant graphs of Krull dimension $2$ and computing their Cohen-Macaulay type and Castelnuovo-Mumford regularity.

研究动机与目标

• 研究循环图边理想的代数不变量，如卡斯特尔努奥夫-穆尔福迪正则性、科恩-麦克aul伊型与正则性指数。
• 刻画克鲁尔维数为 2 的科恩-麦克aul伊循环图，并计算其关键不变量。
• 建立当 $n$ 为素数时，循环图 $C_n(\{1,\ldots,s\})$ 为序 $S_2$ 的结论。
• 将 $C_n(S)$ 的图论性质，尤其是其补图 $\bar{G}$，与 $R/I(G)$ 的同调不变量相关联。

提出的方法

• 利用斯坦利-雷泽纳对应关系，将边理想 $I(G)$ 与图 $G$ 的独立复形 $\Delta(G)$ 关联起来。
• 应用霍奇斯特公式，通过诱导子复形的单纯同调计算贝蒂数。
• 利用补图 $\bar{G}$（其本身也是循环图）分析 $\Delta(G)$ 的结构。
• 利用 $n$ 为素数的性质，证明 $\Delta(G)$ 的 $k$-骨架连通性，从而获得 $S_2$ 性质结果。
• 使用 $h$-向量与欧拉示性数计算科恩-麦克aul伊型与正则性。
• 应用阿隆德-布赫斯鲍姆公式，将深度与最小自由解析中的贝蒂数关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n$ 为素数时，$R/I(G)$ 的正则性指数是多少？
• RQ2 在何种情况下 $R/I(G)$ 是科恩-麦克aul伊的？此时其卡斯特尔努奥夫-穆尔福迪正则性是多少？
• RQ3 对于 $n$ 为素数的循环图 $C_n(S)$，在何种情况下 $R/I(G)$ 是序 $S_2$ 的？
• RQ4 哪些克鲁尔维数为 2 的循环图是科恩-麦克aul伊的？其科恩-麦克aul伊型与正则性是多少？
• RQ5 何时一个维数为 2 的科恩-麦克aul伊循环图是戈伦斯坦的？

主要发现

• 当 $n$ 为素数时，$R/I(G)$ 的正则性指数为 1。
• 当 $R/I(G)$ 是科恩-麦克aul伊时，其卡斯特尔努奥夫-穆尔福迪正则性等于正则性指数，即为 1。
• 当 $n$ 为素数时，循环图 $C_n(\{1,\ldots,s\})$ 是序 $S_2$ 的。
• 对于克鲁尔维数为 2 的科恩-麦克aul伊循环图，其卡斯特尔努奥夫-穆尔福迪正则性为 2。
• 此类图的科恩-麦克aul伊型为 $\binom{n}{2} - n(s+1) + 1$（若 $n$ 为奇数），或 $\binom{n}{2} - n(s + \frac{1}{2}) + 1$（若 $n$ 为偶数且 $\frac{n}{2} \in S$）。
• 一个维数为 2 的科恩-麦克aul伊循环图是戈伦斯坦的，当且仅当其补图是满足 $n \geq 4$ 且 $\gcd(n,i) = 1$ 的哈密顿 $n$-圈，其中 $i$ 为缺失边。