[论文解读] Some Algorithmic Problems in Polytope Theory

Volker Kaibel, Marc E. Pfetsch|ArXiv.org|Feb 20, 2002

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 4

一句话总结

本文整理并分析了多面体理论中的35个算法问题，聚焦于五类计算复杂度：坐标描述、组合结构、同构性、优化和实现性。研究证明，从布尔公式导出的单纯复形中，计算其$(n-1)$维面的数量是#P-完全问题，表明多面体与单纯复形中面计数的固有难度。

ABSTRACT

This is a survey on algorithmic questions about combinatorial and geometric properties of convex polytopes. We give a list of 35 problems; for each the current state of knowledege on its theoretical complexity status is reported. The problems are grouped into the sections ``Coordinate Descriptions'', ``Combinatorial Structure'', ``Isomorphism'', ``Optimization'', ``Realizability'', and ``Beyond Polytopes''.

研究动机与目标

• 基于计算复杂度，系统化并分类多面体理论中的基本算法问题。
• 确定多面体与单纯组合学中关键问题的复杂度状态，尤其是NP难或#P-完全性。
• 区分维度作为输入的一部分与维度固定时问题的复杂度差异。
• 突出开放问题，并为计算几何与组合学领域的进一步研究提供参考。

提出的方法

• 问题描述采用输入、输出、复杂度状态（一般情况与固定维度）以及带参考文献的评论进行结构化组织。
• 作者使用多项式时间图灵归约分析复杂度，区分多项式时间算法与多项式总时间算法。
• 针对#P-完全性，通过由最小非面定义的单纯复形，从布尔可满足性问题（SAT）构造归约。
• 利用对偶复形构造，建立复形与其补集之间面计数的关系，从而实现面计数问题的高效转换。
• 基于计算复杂度理论（Garey和Johnson）与多面体理论（Ziegler、Schrijver）的基础结果，分析理论复杂度。
• 通过边界矩阵与史密斯标准型研究同调与可壳化问题，复杂度评估基于输入表示形式（面与所有单纯形）。

实验结果

研究问题

• RQ1 从CNF公式导出的单纯复形中，计算其$(n-1)$维面数量的计算复杂度是什么？
• RQ2 在固定维度下，能否在多项式时间内判定一个纯单纯复形是否可壳化？
• RQ3 单纯复形的可划分性是否可在多项式时间内判定，其复杂度如何依赖于输入表示形式？
• RQ4 给定由其面构成的单纯复形，计算其第$i$个同调群的复杂度是什么？
• RQ5 当维度作为输入的一部分时，多面体问题的复杂度相较于维度固定时有何变化？

主要发现

• 通过从#SAT的归约，证明了从CNF公式构造的单纯复形中，计算$(n-1)$维面数量是#P-完全问题。
• 即使复形由少量电路定义，仅由其最小非面给出的单纯复形的维度计算也是#P-难的。
• 当复形以所有单纯形形式给出时，同调计算可在多项式时间内求解，原因在于边界矩阵的史密斯标准型可高效计算。
• 可壳化与可划分性在一般情况下仍为开放问题，即使对于二维复形也是如此，尽管两者均属于NP。
• 在固定维度下，同调计算与某些面计数问题可在多项式时间内求解，但一般情况仍未解决。
• 对偶复形构造使得复形与其补集之间面计数的高效转换成为可能，从而可将一个复杂度已知的问题归约为另一个问题。