[论文解读] Some analysable instances of mu-synthesis

N. J. Young|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2012

Advanced Algebra and Logic参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文利用算子理论与复几何，为鲁棒控制中μ-综合问题的特殊情形提出了可验证的可解性准则。研究建立了针对谱半径或结构奇异值约束下2×2矩阵插值的显式条件，特别是通过对称双圆盘与四面体块域，解决了谱Nevanlinna-Pick问题及Carathéodory-Fejér问题的μ-类比问题。

ABSTRACT

I describe a verifiable criterion for the solvability of the 2 by 2 spectral Nevanlinna-Pick problem with two interpolation points, and likewise for three other special cases of the mu-synthesis problem. The problem is to construct an analytic 2 by 2 matrix function F on the unit disc subject to a finite number of interpolation constraints and a bound on the cost function sup {mu(F(z)): |z| < 1}, where mu is an instance of the structured singular value of a 2 by 2 matrix.

研究动机与目标

• 为鲁棒控制中μ-综合问题的可解性建立可分析处理的准则，特别是针对2×2矩阵函数。
• 将经典插值理论（如Nevanlinna-Pick）扩展至带有结构奇异值约束的矩阵值函数。
• 将μ-综合与对称双圆盘$\mathbb{G}$及四面体块$\mathbb{E}$的几何结构联系起来，通过Lempert函数与Carathéodory距离实现解析解。
• 通过显式边界识别病态情况，缓解μ-综合中的数值不稳定性。
• 为数值方法提供可测试的条件，并阐明一般μ-综合中的理论挑战。

提出的方法

• 将2×2矩阵的谱Nevanlinna-Pick问题约化为在对称双圆盘$\mathbb{G}$上的插值问题，利用迹与行列式作为坐标。
• 利用$\mathbb{G}$上的Lempert函数与Carathéodory距离刻画插值函数，借助Agler等人的结果。
• 应用“魔术函数”$\Phi_\omega$计算Carathéodory距离并推导可解性条件。
• 将带有结构奇异值$\mu$的μ-综合问题转化为在四面体块$\mathbb{E}$上的插值问题，其定义为$\{ (x^1,x^2,x^3) \in \mathbb{C}^3 : 1 - x^1 z - x^2 w + x^3 z w \neq 0 \text{ for } |z|,|w| \leq 1 \}$。
• 利用$\mathbb{E}$的自同构将一般插值问题约化为其中一个点为$(0,0,\lambda)$的情形，从而简化分析。
• 应用四面体块上的Schwarz引理，推导出$\mu$-类比Carathéodory-Fejér问题的可解性准则，其中$F(0) = V_0$，$F'(0) = V_1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单位圆盘上是否存在一个2×2解析矩阵函数$F$，使得$F(\lambda_1) = W_1$，$F(\lambda_2) = W_2$，且对所有$\lambda \in \mathbb{D}$满足$r(F(\lambda)) \leq 1$？
• RQ2 能否将$\mu$等于结构奇异值的μ-综合问题约化为在四面体块$\mathbb{E}$上的插值问题？在特殊情形下，其可解性条件是什么？
• RQ3 四面体块$\mathbb{E}$上Lempert函数与Carathéodory距离之间有何关系？这是否能导出一般可解性准则？
• RQ4 为何某些μ-综合问题表现出数值不稳定性？能否通过插值参数的边界量化这一现象？
• RQ5 能否利用对称双圆盘$\mathbb{G}$与四面体块$\mathbb{E}$的几何结构，为μ-综合问题推导出显式且可验证的可解性条件？

主要发现

• 对于两个不同的插值点$\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{D}$及谱半径小于1的2×2矩阵$W_1, W_2$，可解性等价于一个涉及$\lambda_1, \lambda_2$的交比与$W_1, W_2$的迹与行列式的有理函数的精确不等式。
• 该可解性条件等价于一个在单位圆上定义的$2\times2$矩阵值函数的非负性，该函数由$W_1, W_2$的迹与行列式及参数$\omega \in \mathbb{T}$构成。
• 对于$F(0) = \begin{bmatrix} 0 & \zeta \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$与$F'(0) = [v_{ij}]$的$\mu$-类比Carathéodory-Fejér问题，解存在的充要条件是$\max\{|v_{11}|, |v_{22}|\} + |\zeta v_{21}| \leq 1$。
• 当$a = b = p = \frac{1}{2}$时，$\mu$-综合问题中$F(\lambda_0) = (a,b,p)$的解$F_\zeta$仅在$|\lambda_0| \geq \frac{2}{3}$（当$\zeta \neq 0$）或$|\lambda_0| \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$（当$\zeta = 0$）时存在，表明在中间范围存在病态情况。
• 四面体块$\mathbb{E}$上的Lempert函数与Carathéodory距离完全一致，该结果或可为一般点对的Lempert函数计算提供未来可能。
• 本文建立了四面体块上的Schwarz引理，当一个插值点为$\mathbb{C}^3$中的原点时，提供了可解性准则，为后续分析奠定了基础。