[论文解读] Some applications of the Stieltjes constants

Donal F. Connon|ArXiv.org|Jan 14, 2009

Advanced Mathematical Identities参考文献 36被引用 13

一句话总结

本文在解析数论与特殊函数中提出了Stieltjes常数的新应用，通过级数展开和积分表示法，推导出对数伽马函数的Binet公式，并计算与Barnes多重伽马函数相关的积分。

ABSTRACT

In this paper we present some applications of the Stieltjes constants including, for example, new derivations of Binet's formulae for the log gamma function and the evaluation of some integrals related to the Barnes multiple gamma functions.

研究动机与目标

• 探索Stieltjes常数在经典分析与特殊函数中的新颖应用。
• 通过Stieltjes常数提供对数伽马函数Binet公式的全新推导。
• 通过涉及这些常数的级数展开，计算与Barnes多重伽马函数相关的积分。
• 建立Stieltjes常数与高阶伽马函数之间的联系。

提出的方法

• 利用Hurwitz zeta函数的级数展开，将Stieltjes常数表示为洛朗级数中的系数。
• 应用伽马函数与多重伽马函数的积分表示，推导出涉及Stieltjes常数的表达式。
• 采用渐近展开与围道积分技术，计算与Barnes多重伽马函数相关的积分。
• 通过zeta函数展开将对数伽马函数与Stieltjes常数关联，推导出Binet公式。
• 利用psi函数及其导数的积分表示，将其与Stieltjes常数联系起来。
• 应用已知的Stieltjes常数级数恒等式与生成函数，以计算特定积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用Stieltjes常数推导对数伽马函数的Binet公式？
• RQ2 哪些Barnes多重伽马函数的积分表示可以通过Stieltjes常数进行计算？
• RQ3 Stieltjes常数在Hurwitz zeta函数的洛朗级数展开中以何种方式出现？
• RQ4 Stieltjes常数能否促进对涉及伽马函数的积分的新计算？
• RQ5 Stieltjes常数在对数伽马函数的渐近展开中起什么作用？

主要发现

• 本文通过Hurwitz zeta函数洛朗展开中的Stieltjes常数作为系数，提供了对数伽马函数Binet公式的全新推导。
• 研究确立了与Barnes多重伽马函数相关的积分可通过涉及Stieltjes常数的级数进行计算。
• Stieltjes常数自然地出现在伽马函数对数导数的展开中。
• 该方法使得以往标准方法难以处理的某些积分得以计算。
• 结果表明Stieltjes常数与多重伽马函数结构之间存在深刻联系。
• 该方法为通过Stieltjes常数系统推导涉及特殊函数的积分恒等式提供了框架。