[论文解读] Some asymptotic properties of the Rees powers of a module

Ana L. Branco Correia, Santiago Zarzuela|ArXiv.org|Aug 25, 2004

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文建立了局部环上自由模子模的Rees幂的渐近性质，将Burch不等式从理想推广到模。证明了子模 $ E \subset G \simeq R^e $ 的解析维数满足 $ \ell_G(E) \leq d + e - 1 - \inf_{n \geq 1} \operatorname{depth}(G_n / E_n) $，当 $ R $ 和Rees代数均为Cohen-Macaulay时取等号。该结果被用于将Cowsik-Nori关于完备交模的判别准则推广至模的情形。

ABSTRACT

Let R be a commutative ring and let G be a free R-module with positive rank e. For any R-submodule E of G we may consider the image of the symmetric algebra of E by the natural map to the symmetric algebra of G, and then the graded components E_n of the image, that we call the n-th Rees powers of E. In this work we prove some asymptotic properties of the modules E_n, which extend well known similar ones for the case of ideals, among them Burch's inequality for the analytic spread.

研究动机与目标

• 将原本针对理想的Burch不等式推广至自由模子模的情形。
• 研究子模 $ E \subset G $ 的Rees幂 $ G_n / E_n $ 的商模深度的渐近行为。
• 将Cowsik-Nori关于完备交理想的判别准则推广至理想模的情形。
• 建立Rees代数为Cohen-Macaulay的条件，尤其关注其与深度和解析维数的关系。

提出的方法

• 将Rees代数 $ \mathcal{R}_G(E) $ 定义为 $ E $ 的对称代数在自然映射到 $ \mathcal{S}_R(G) $ 下的像，其分次分量为 $ E_n $。
• 利用Katz与Naude建立的 $ G_n / E_n $ 的关联素理想在大 $ n $ 时的稳定性，分析深度稳定性。
• 应用Brodmann的深度稳定化方法，将深度稳定化结果从理想推广至模。
• 通过分析纤维锥 $ \mathcal{F}_G(E) = \mathcal{R}_G(E)/\mathfrak{m}\mathcal{R}_G(E) $ 并将其维数与 $ G_n / E_n $ 的深度下确界关联，证明模的Burch不等式。
• 利用约化与Fitting理想理论，为理想模定义偏离度与解析偏离度。
• 应用所得结果证明：在Cohen-Macaulay局部环中，理想模 $ E $ 为完备交当且仅当对无限多个 $ n $，$ G_n / E_n $ 为Cohen-Macaulay。

实验结果

研究问题

• RQ1 Burch不等式对理想成立，是否可推广至自由模的子模，特别是关于解析维数与商模深度的关系？
• RQ2 对于子模 $ E \subset G $，其Rees幂 $ G_n / E_n $ 的深度在大 $ n $ 时的渐近行为如何？是否存在稳定值？
• RQ3 Cowsik-Nori关于完备交理想的判别准则能否推广至理想模的情形？
• RQ4 在何种条件下Rees代数 $ \mathcal{R}_G(E) $ 为Cohen-Macaulay？其与 $ G_n / E_n $ 深度有何关系？
• RQ5 理想模的解析偏离度与其Rees幂深度之间存在何种关系？

主要发现

• 子模 $ E \subset G \simeq R^e $ 的解析维数 $ \ell_G(E) $ 满足不等式 $ \ell_G(E) \leq d + e - 1 - \inf_{n \geq 1} \operatorname{depth}(G_n / E_n) $，将Burch不等式推广至模的情形。
• 当 $ R $ 与 $ \mathcal{R}_G(E) $ 均为Cohen-Macaulay时，不等式取等号。
• $ G_n / E_n $ 的深度在大 $ n $ 时趋于稳定，且 $ G_n / E_n $ 的关联素理想集合亦趋于稳定。
• 若对无限多个 $ n $，有 $ \operatorname{depth}(G_n / E_n) = d - \operatorname{ht}F_e(E) $，则理想模 $ E $ 为等维的。
• 在Cohen-Macaulay局部环中，若 $ E $ 在一般点处为完备交，则理想模 $ E $ 为完备交当且仅当对无限多个 $ n $，$ G_n / E_n $ 为Cohen-Macaulay。
• 在一般完备交假设下，完备交模的判别准则等价于对所有 $ n > 0 $，或对无限多个 $ n $，$ G_n / E_n $ 为Cohen-Macaulay。