[论文解读] Some Bounds for ramification of $p^n$-torsion semi-stable representations

Xavier Caruso, Tong Liu|ArXiv.org|May 27, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用 6

一句话总结

该论文为 $p^n$-挠半稳定伽罗瓦表示在 $p$-进域上的上分支过滤建立了有效的界。利用 Kisin 模和挠 $(\varphi,\hat{G})$-模，证明了当 $\mu > \frac{ernp^n}{p-1}$ 时，$G_K^{(\mu)}$ 在此类表示上平凡作用，且界显式依赖于 $n$、$e$ 和 Hodge-Tate 重量 $r$。该结果将 Fontaine-Laffaille 和 Breuil 的界推广至具有挠系数的半稳定情形。

ABSTRACT

Let p be an odd prime, K a finite extension of Q_p, G=Gal(\bar K/K) the Galois group and e=e(K/Q_p) the ramification index. Suppose T is a p^n torsion representation such that T is isomorphic to a quotient of two G-stable Z_p-lattices in a semi-stable representation with Hodge-Tate weights in {0,...,r}. We prove that there exists a constant μexplicitly depending on n, e and r such that the upper numbering ramification group G^{(μ)} acts on T trivially.

研究动机与目标

• 将 Fontaine-Laffaille 和 Breuil 的分支界推广至 Hodge-Tate 重量在 $\{0,\dots,r\}$ 内的 $p^n$-挠半稳定表示。
• 为这类表示的上编号分支过滤提供显式上界。
• 将结晶情形的界推广至具有挠系数的半稳定情形。
• 研究分支界对 $n$、$e$ 和 $r$ 的依赖性，特别是对 $r$ 的对数依赖性。
• 基于 $r/(p-1)$ 的 $p$-进赋值提出改进的界。

提出的方法

• 利用 Kisin 模描述 $p^n$-挠表示在伽罗瓦群 $G_{\infty} = \operatorname{Gal}(\bar{K}/K_\infty)$ 上的限制。
• 通过 $\hat{T}$-构造和 $\hat{J}_{n,c}$-模，从挠 Kisin 模构造到 $G_s$-表示的函子。
• 应用 $(\varphi,\hat{G})$-模理论，将 $T$ 上的伽罗瓦作用与 Kisin 模 $\mathfrak{M}$ 的结构联系起来。
• 利用 $\hat{J}_{n,c}(\hat{\mathfrak{M}})$ 与 $J_{n,c}(\mathfrak{M})$ 之间的比较同构来控制分支。
• 利用滤过 $(\varphi,N)$-模上的滤过与单值算子分析相关伽罗瓦表示的分支。
• 应用可接受滤过 $(\varphi,N)$-模理论推导分支界的有限性与相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 Hodge-Tate 重量在 $\{0,\dots,r\}$ 内的 $p^n$-挠半稳定表示，上分支过滤的精确上界是什么？
• RQ2 分支界如何依赖于分歧指数 $e$、挠级别 $n$ 和 Hodge-Tate 重量 $r$？
• RQ3 Fontaine-Laffaille 和 Breuil 的界能否推广至具有 $p^n$-挠系数的半稳定情形？
• RQ4 界对 $r$ 的依赖是否为对数型而非线性，如猜想所示？
• RQ5 通过改进 $r/(p-1)$ 的 $p$-进赋值，能否改善对判别式 $v_K(\mathcal{D}_{L/K})$ 的界？

主要发现

• 当 $s > n + \log_p(nr/(p-1))$ 时，对所有 $\mu > \frac{ernp^n}{p-1}$，上分支群 $G_s^{(\mu)}$ 在 $T$ 上平凡作用。
• 界 $\mu > \frac{ernp^n}{p-1}$ 是有效的，且显式依赖于 $n$、$e$ 和 $r$。
• 判别式的界为 $v_K(\mathcal{D}_{L/K}) < 1 + e(n + \alpha + \beta) - \frac{1}{p^{n+\alpha}}$，其中 $\frac{nr}{p-1} = p^\alpha \beta$ 且 $\frac{1}{p} < \beta \leq 1$。
• 界对 $r$ 的依赖为对数型，这令人惊讶，因为此前的界均为 $r$ 的线性函数。
• 本文猜想可通过在指数中将 $\frac{nr}{p-1}$ 替换为 $\frac{r}{p-1}$ 来改进界，暗示对 $r$ 的依赖更紧密。
• 结果将先前在结晶情形下的界推广至具有 $p^n$-挠表示的半稳定情形。