[论文解读] Some Brouwerian Counterexamples Regarding Nominal Sets in Constructive Set Theory

Andrew Swan|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2017

Advanced Algebra and Logic参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文在构造性集合论中提出布劳威尔反例，以证明名义集理论中最小有限支撑的存在性这一基础假设无法在构造性意义上得到证明。它表明，假设存在最小有限支撑将导致非构造性原理（如WLPO），因此在使用名义集进行构造性推理时应避免此类假设。

ABSTRACT

The existence of least finite support is used throughout the subject of nominal sets. In this paper we give some Brouwerian counterexamples showing that constructively, least finite support does not always exist and in fact can be quite badly behaved. On this basis we reinforce the point that when working constructively with nominal sets the use of least finite support should be avoided. Moreover our examples suggest that this problem can't be fixed by requiring nominal sets to have least finite support by definition or by using the notion of subfinite instead of finite.

研究动机与目标

• 挑战构造性集合论中名义集始终具有最小有限支撑这一假设。
• 证明假设最小有限支撑将导致非构造性原理（如WLPO）。
• 主张在构造性数学中应避免在名义集理论中使用最小有限支撑。
• 表明即使采用次有限支撑也无法解决最小支撑非构造性行为所引发的基础性问题。
• 强化在构造性框架中必须重新审视名义集构造，以避免非构造性后果的观点。

提出的方法

• 通过二元序列 α 和名称 a 构造一个名义集，定义一个元素 αₐ，其支撑性质与 ∀n∈ℕ.α(n)=0 的真假相关。
• 使用集合 L = {x∈{a} | ¬(∀n∈ℕ)α(n)=0} 表示 αₐ 的所有有限支撑的交集，表明 L 等于所有有限支撑的交集。
• 运用双重否定推理表明，若 L 为有限且可判定，则将推出 WLPO，一个非构造性原理。
• 应用引理 3.4 表明，若所有有限支撑的交集本身是支撑，则对所有有界公式 ϕ，¬¬ϕ→ϕ 成立，从而导致受限排中律（REM）。
• 分析次有限支撑的行为，表明即使在次有限性条件下，仍会产生相同的非构造性后果。
• 利用可实现性与模型论推理表明，WLPO 在 CZF 中不可证明，从而确立最小有限支撑的非构造性本质。

实验结果

研究问题

• RQ1 最小有限支撑的存在性是否能在名义集理论中被构造性地证明？
• RQ2 假设每个名义集元素均具有最小有限支撑，其逻辑后果是什么？
• RQ3 若改用次有限支撑而非有限支撑，是否能解决最小支撑带来的非构造性问题？
• RQ4 最小有限支撑的假设在多大程度上会推出非构造性原理（如 WLPO 或 REM）？
• RQ5 在不引发更强非构造性原理的前提下，一个元素的所有有限支撑的交集是否可能成为其支撑？

主要发现

• 名义集中某一元素的所有有限支撑的交集不一定是其有限支撑，且这种情形在构造性意义上可能不成立。
• 若所有有限支撑的交集总是支撑，则对所有有界公式 ϕ，¬¬ϕ→ϕ 成立，从而推出受限排中律（REM）。
• 假设每个元素都具有最小有限支撑将导致 WLPO，而 WLPO 在构造性集合论（如 CZF）中不可证明。
• 即使限制在次有限支撑下，仍会产生相同的非构造性后果，表明次有限性无法解决该问题。
• 集合 L = {x∈{a} | ¬(∀n∈ℕ)α(n)=0} 等于 αₐ 的所有有限支撑的交集；若 L 为有限，则将推出 WLPO。
• 最小有限支撑在构造性意义上无法成立，这破坏了在构造性框架下名义集理论的基础假设。