[论文解读] Some classes of generating functions for generalized Hermite- and Chebyshev-type polynomials: Analysis of Euler's formula

Neslıhan Kilar, Yılmaz Şimşek|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2019

Advanced Mathematical Identities参考文献 56被引用 30

一句话总结

本文利用欧拉公式，为广义埃尔米特型与切比雪夫型多项式引入了新的生成函数，建立了三角函数、指数生成函数与特殊多项式之间的联系。通过利用函数方程与超几何恒等式，作者推导出显式公式、递推关系以及连接埃尔米特型、切比雪夫、狄克逊与阿波斯托尔型多项式的全新恒等式，关键结果表明这些多项式在复指数表示与三角分解下可统一。

ABSTRACT

The aim of this paper is to construct generating functions for new families of special polynomials including the Appel polynomials, the Hermite-Kamp\`e de F\`eriet polynomials, the Milne-Thomson type polynomials, parametric kinds of Apostol type numbers and polynomials. Using Euler's formula, relations among special functions, Hermite-type polynomials, the Chebyshev polynomials and the Dickson polynomials are given. Using generating functions and their functional equations, various formulas and identities are given. With help of computational formula for new families of special polynomials, some of their numerical values are given. Using hypegeometric series, trigonometric functions and the Euler's formula, some applications related to Hermite-type polynomials are presented. Finally, further remarks, observations and comments about generating functions for new families of special polynomials are given.

研究动机与目标

• 利用欧拉公式，为广义埃尔米特型与切比雪夫型多项式构造新的生成函数。
• 建立埃尔米特型多项式、切比雪夫多项式、狄克逊多项式与三角函数之间的函数关系。
• 推导新一类特殊多项式的显式计算公式与递推关系，包括阿佩尔型、米尔恩-汤姆森型与阿波斯托尔型多项式。
• 通过生成函数恒等式与复指数表示，统一各类特殊多项式族。
• 利用超几何级数与三角展开，提供数值结果与应用实例。

提出的方法

• 定义多元生成函数 G(t, w, u, r) = exp(wt + Σ u_j t^j)，其中 w = x + iy 为复变量。
• 应用欧拉公式 exp(iyt) = cos(yt) + i sin(yt)，将生成函数分解为实部与虚部。
• 通过将实部与虚部分离，推导出多项式 K(n; w, u, r) 的显式表达式，分别表示为 P1(n, x, y, u, r) 与 P2(n, x, y, u, r)。
• 通过代入 y = √(1−x²)，建立新埃尔米特型多项式与经典切比雪夫多项式之间的联系。
• 利用幂级数展开中的函数方程与系数比较，推导出递推与微分恒等式。
• 以阿波斯托尔-伯努利、阿波斯托尔-欧拉与阿佩尔多项式的已知生成函数作为基底，推导统一恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 欧拉公式如何用于构造具有复参数的广义埃尔米特型多项式的生成函数？
• RQ2 通过复指数生成函数，埃尔米特型、切比雪夫与狄克逊多项式之间涌现出哪些函数与代数恒等式？
• RQ3 新生成函数如何统一阿佩尔型、米尔恩-汤姆森型与阿波斯托尔型等现有多项式族？
• RQ4 新埃尔米特型多项式族满足哪些递推或微分关系？
• RQ5 这些新多项式族的显式计算公式如何用经典正交多项式表示？

主要发现

• 生成函数 G(t, w, u, r) = exp(wt + Σ u_j t^j) 通过欧拉公式分解为实部与虚部，由此导出两个新多项式族 P1(n, x, y, u, r) 与 P2(n, x, y, u, r)。
• 推导出显式公式：P1(n, x, y, u, r) = Σ (n choose j) H_j(u,r) C_{n-j}(x,y) 与 P2(n, x, y, u, r) = Σ (n choose j) H_j(u,r) S_{n-j}(x,y)，建立了埃尔米特型多项式与三角多项式之间的联系。
• 通过代入 y = √(1−x²)，多项式 P1 与 P2 导出涉及切比雪夫多项式的恒等式：T_n(x) = Re[N_n(x, √(1−x²))] 与 U_{n−1}(x) = Im[N_n(x, √(1−x²)])/√(1−x²)。
• 建立新恒等式：D_n(2x,1) = 2 Re[N_n(x, √(1−x²))] 与 E_{n−1}(2x,1) = Im[N_n(x, √(1−x²)]) / √(1−x²)，将狄克逊多项式与三角多项式联系起来。
• 推导出偏微分方程：∂²/∂x∂y C_n(x,y) = -n(n−1)S_{n−2}(x,y) 与 ∂²/∂x∂y S_n(x,y) = n(n−1)C_{n−2}(x,y)，揭示了其结构对称性。
• 证明了递推关系：C_{n+1}(x,y) = x C_n(x,y) - y S_n(x,y) 与 S_{n+1}(x,y) = x S_n(x,y) + y C_n(x,y)，当代入 y = √(1−x²) 时，可退化为已知的切比雪夫恒等式。