[论文解读] Some classes of power functions with low c-differential uniformity over finite fields

Zhengbang Zha, Lei Hu|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文研究了奇特征有限域上幂函数的 $c$-微分均匀性，提出了六类新的具有低 $c$-微分均匀性（$\text{}_c\triangle_f \leq 3$）的函数。通过分析二次特征性质并求解有限域上的方程，构造了两个新的完美 $c$-非线性（PcN）函数（$c = -1$），扩展了关于几乎完美 $c$-非线性函数的已知结果，并增强了对乘法微分密码分析的抵抗能力。

ABSTRACT

Functions with low c-differential uniformity have optimal resistance to some types of differential cryptanalysis. In this paper, we investigate the c-differential uniformity of power functions over finite fields. Based on some known almost perfect nonlinear functions, we present several classes of power functions $f(x)=x^d$ with $_{c}Δ_f\leq3$. Especially, two new classes of perfect c-nonlinear power functions are proposed.

研究动机与目标

• 研究奇特征有限域上已知的几乎完美非线性（APN）幂函数的 $c$-微分均匀性。
• 识别新的幂函数类 $f(x) = x^d$，其 $c$-微分均匀性较低，具体为 $\text{}_c\triangle_f \leq 3$，且 $c = \pm 1$。
• 为 $c = -1$ 构造新的完美 $c$-非线性（PcN）函数，将 $c$-微分均匀性的理论扩展至标准 $c=1$ 之外的情形。
• 应用有限域上的二次特征分析与方程求解技术，刻画方程 $f(x+1) - c f(x) = b$ 的解的数量。
• 通过利用迪克逊多项式性质及 $\mathbb{F}_{p^n}$ 中指数结构的特性，推广已知的 $c$-微分均匀性结果。

提出的方法

• 利用二次特征 $\chi(x) = x^{(p^n-1)/2}$ 对 $\mathbb{F}_{p^n}^*$ 中的元素按其平方性进行分类，从而在 $\chi(x)$ 和 $\chi(x+1)$ 上进行情形分析。
• 分析有限域 $\mathbb{F}_{p^n}$ 上的方程 $(x+1)^d - c x^d = b$，其中 $c = \pm 1$，根据 $\chi(x)$ 和 $\chi(x+1)$ 的符号对解进行分解。
• 应用恒等式 $\gcd(p^k + 1, p^n - 1) = 2$，当 $n/\gcd(n,k)$ 为奇数时，确保 $x^{p^k+1}$ 为 PN 函数，并将此推广至修改后的指数。
• 使用变换 $x = \eta + \eta^{-1}$，其中 $\eta \in \mathbb{F}_{p^{2n}}^*$，将元素表示为类似迹的恒等式，并推导解的数量。
• 应用引理 2.2，将 $\text{}_c\triangle_f$ 的计算简化为对所有 $b \in \mathbb{F}_{p^n}$ 中方程 $f(x+1) - c f(x) = b$ 的解数的最大值。
• 采用 Akbary-Ghioca-Wang 准则及其推广形式，验证 $c$-微分均匀性，尤其针对 $c = -1$ 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{F}_{p^n}$ 上，哪些已知的 APN 幂函数在 $c \neq 1$ 时表现出低 $c$-微分均匀性？
• RQ2 能否利用已知的 APN 函数构造出 $c = -1$ 时的新完美 $c$-非线性（PcN）函数？
• RQ3 有限域 $\mathbb{F}_{p^n}^*$ 的二次特征如何影响方程 $f(x+1) - c f(x) = b$ 的解数？
• RQ4 在何种指数 $d$ 与域参数条件下，可保证 $\text{}_c\triangle_f \leq 3$，其中 $c = \pm 1$？
• RQ5 当 $n/\gcd(n,k)$ 为奇数时，已知为 PN 的 $x^{p^k+1}$ 的结构，如何推广至 $d = \frac{p^n-1}{2} + p^k + 1$ 的 $x^d$ 形式？

主要发现

• 当 $p^n \equiv 3 \pmod{4}$ 且 $n/\gcd(n,k)$ 为奇数时，幂函数 $f(x) = x^{\frac{p^n-1}{2} + p^k + 1}$ 满足 $\text{}_{-1}\triangle_f \leq 3$ 且 $\text{}_1\triangle_f \leq 6$。
• 当 $p^n \equiv 1 \pmod{4}$ 时，同一函数满足 $\text{}_{-1}\triangle_f \leq 6$ 且 $\text{}_1\triangle_f \leq 3$，表明在域的奇偶性下 $c$-均匀性具有对称性。
• 在所述条件下，为 $c = -1$ 构造了两个新的完美 $c$-非线性（PcN）函数，具体为 $d = \frac{p^n-1}{2} + p^k + 1$。
• 对于 $c = 1$，方程 $f(x+1) - f(x) = b$ 的最大解数不超过 6；对于 $c = -1$，最大解数不超过 3，表明对乘法微分攻击具有强抵抗能力。
• $x^{p^k+1}$ 在 $n/\gcd(n,k)$ 为奇数时为 PN 函数，本文将其推广至更广泛的指数类，且具有受控的 $c$-微分均匀性。
• 分析证实 $\text{}_c\triangle_f$ 在模 $p^n - 1$ 意义下关于指数等价性保持不变，且对于 $c = \pm 1$，$c$-微分均匀性在 $c$-等价下保持不变。