[论文解读] Some Classical and Recent Results Concerning Renorming Theory

Amanollah Assadi, Hadi Haghshenas|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2009

Advanced Banach Space Theory参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文综述了范数等价性理论中的经典与近期成果，重点关注巴拿赫空间中具有良好几何与可微性性质的等价范数。论文通过范数重定义建立了对自反性、可分性及可微性的关键刻画，并提出了在巴拿赫空间各种结构假设下，Fréchet、一致Gâteaux及严格强凸范数存在的开放问题。

ABSTRACT

The problems connected with equivalent norms lie at the heart of Banach space theory. This is a short survey on some recent as well as classical results and open problems in renormings of Banach spaces.

研究动机与目标

• 综述范数重定义理论中的基础与近期成果，关注具有良好几何与可微性性质的等价范数。
• 阐明范数的可微性（Fréchet、Gâteaux、一致Gâteaux）与自反性、可分性等结构性质之间的关系。
• 在巴拿赫空间的各种假设下，识别出具有特定可微性或凸性性质的等价范数存在的开放问题。
• 通过重定义方法，全面概述自反性、Asplund空间及弱紧生成空间的已知刻画。
• 通过提出17个关于Fréchet、LUR、SSD及严格强凸范数在各种条件下存在的开放问题，激发进一步研究。

提出的方法

• 利用S̆mulyan的对偶定理，通过对偶空间中泛函的收敛性刻画范数的Fréchet可微性。
• 应用Bishop-Phelps定理，证明范数取值泛函在对偶空间中是范数稠密的，从而将可微性与可分性联系起来。
• 采用基本双正交系的概念，构造具有理想性质（如度量逼近性质MIP）的等价范数。
• 应用2-强凸性与弱2-强凸性的概念，通过序列的范数收敛刻画自反性与可分性。
• 使用延拓技术，在子空间上构造等价范数，并探讨其向整个空间的可能延拓。
• 分析Radon-Nikodým性质、Asplund空间结构及弱紧生成（WCG）空间性质对等价可微范数存在的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 若一个巴拿赫空间具有Radon-Nikodým性质，它是否一定存在等价的弱-Kadec-Klee范数、严格强凸范数或LUR范数？
• RQ2 每个Asplund空间是否都存在一个等价的强次可微（SSD）范数？
• RQ3 若一个巴拿赫空间同时存在Gâteaux可微范数与SSD范数，是否必然存在Fréchet可微范数？
• RQ4 对于非可分且非Asplund空间，是否存在一个等价范数，使得其在除原点外的任何地方都不是SSD的？
• RQ5 若一个可分巴拿赫空间的范数在每个无限维子空间上都是Fréchet可微的，其对偶空间是否必然可分？

主要发现

• 每个可分巴拿赫空间都存在一个等价的均匀Gâteaux可微范数，此结论由S̆mulyan定理与构造方法得出。
• 若一个可分巴拿赫空间具有Fréchet可微范数，则其对偶空间也是可分的，此结论由Kadec-Restrepo定理确立。
• 若对偶范数是Fréchet可微的，则该空间是自反的，此结果基于S̆mulyan的刻画与James定理推导得出。
• 若一个巴拿赫空间具有基本双正交系，则其存在一个等价范数，使得LUR点在该范数下是稠密的，从而蕴含存在具有度量逼近性质（MIP）的范数。
• 每个可分巴拿赫空间若存在Fréchet可微范数，即可通过重定义使该空间及其对偶空间均具有Fréchet可微范数。
• 在可分空间上存在Gâteaux可微范数，意味着范数取值泛函在对偶空间中是范数稠密的，进而在附加条件下可推出对偶空间的可分性。