[论文解读] Some classifications of \infty-Harmonic maps between Riemannian manifolds

Ze-Ping Wang, Ye‐Lin Ou|ArXiv.org|Oct 30, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文对黎曼流形之间的线性和二次∞-调和映射进行了分类，包括欧几里得空间、球面、Nil和Sol空间，以及复欧几里得空间之间的全纯映射。证明了全纯∞-调和映射是正交投影与位似变换的复合，通过在p→∞极限下的能量密度和梯度条件，对这类映射提供了完整的刻画。

ABSTRACT

$\infty$-Harmonic maps are a generalization of $\infty$-harmonic functions. They can be viewed as the limiting cases of p-harmonic maps as p goes to infinity. In this paper, we give complete classifications of linear and quadratic $\infty$-harmonic maps from and into a sphere, quadratic $\infty$-harmonic maps between Euclidean spaces. We describe all linear and quadratic $\infty$-harmonic maps between Nil and Euclidean spaces, between Sol and Euclidean spaces. We also study holomorphic $\infty$-harmonic maps between complex Euclidean spaces.

研究动机与目标

• 对黎曼流形之间的线性和二次∞-调和映射进行分类，特别是欧几里得空间、球面、Nil和Sol空间之间的映射。
• 对复欧几里得空间之间全纯∞-调和映射进行刻画，并确定其结构形式。
• 将∞-调和映射的分类从调和函数扩展至能量密度非恒定的映射。
• 建立∞-调和映射、水平位似映射与p-调和映射在p→∞极限下的联系。

提出的方法

• 使用∞-调和映射的定义，即作为方程τ∞(φ) = ½ dφ(grad|dφ|²) = 0的解，其中|dφ|²为能量密度。
• 通过局部坐标计算，将∞-调和条件表示为每个分量α满足g(grad φα, grad|dφ|²) = 0。
• 利用∞-调和函数与水平位似映射之间的等价性，借助已知的此类映射分类结果。
• 利用复空间之间全纯映射的实部与虚部L²范数相等的性质，简化∞-调和条件。
• 应用p-调和共形映射的结果及p→∞极限，证明全纯∞-调和映射必为水平位似映射。
• 利用欧几里得空间之间水平位似映射的分类结果，得出全纯∞-调和映射的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 从或到球面的欧几里得空间之间的线性和二次映射中，哪些是∞-调和的？
• RQ2 从或到球面的∞-调和映射的完整类别是什么？它们与能量密度常数性的关系如何？
• RQ3 Nil与欧几里得空间之间，以及Sol与欧几里得空间之间的∞-调和映射行为如何？
• RQ4 在什么条件下，复欧几里得空间之间的全纯映射是∞-调和的？
• RQ5 全纯∞-调和映射能否完全通过投影与位似变换来刻画？

主要发现

• 所有从或到球面的线性和二次∞-调和映射均已完全分类，其中仅在特定对称情形下存在能量密度非恒定的映射。
• 欧几里得空间之间二次∞-调和映射已完全刻画，解来源于满足∞-调和条件的对称二次型。
• Nil与欧几里得空间之间，以及Sol与欧几里得空间之间的所有∞-调和映射均被分类为具有特定对称性与梯度约束的线性或二次映射。
• 全纯∞-调和映射φ: ℂ^m → ℂ^n是∞-调和的，当且仅当其实部与虚部均为∞-调和，从而将问题简化为分量分析。
• 非平凡的全纯∞-调和映射φ: ℂ^m → ℂ必须具有形式φ(z₁,…,zₘ) = λzᵢ + z₀，即正交投影与位似变换的复合。
• 该分类结果确认，全纯∞-调和映射必为水平位似映射，从而将其与p→∞极限下的p-调和共形映射联系起来。