[论文解读] Some Closure Results for Polynomial Factorization and Applications.

Chi-Ning Chou, Mrinal Kumar+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 1

一句话总结

本文证明了由小深度算术电路计算的低次多项式因子也具有小深度电路，从而证明了VP在低次情况下的因式分解封闭性，并确认了VNP在因式分解下的封闭性。该结果通过将超多项式下界与次指数确定性PIT算法联系起来，为多项式恒等式检测建立了新的困难性-随机性权衡。

ABSTRACT

In a sequence of seminal results in the 80's, Kaltofen showed that the complexity class VP is closed under taking factors. A natural question in this context is to understand if other natural classes of multivariate polynomials, for instance, arithmetic formulas, algebraic branching programs, depth arithmetic circuits or the class VNP, are closed under taking factors. In this paper, we show that all factors of at most $\log^a n$ of polynomials with poly(n) size depth $k$ circuits have poly(n) size circuits of depth at most $O(k + a)$. This partially answers a question of Shpilka-Yehudayoff and has applications to hardness-randomness tradeoffs for depth arithmetic circuits. More precisely, this shows that a superpolynomial lower bound for depth arithmetic circuits, for a family of explicit polynomials of poly$(\log n)$ implies deterministic sub-exponential time algorithms for polynomial identity testing (PIT) for depth arithmetic circuits. This is incomparable to a beautiful result of Dvir et al., where they showed that super-polynomial lower bounds for constant depth arithmetic circuits for any explicit family of polynomials (of potentially high degree) implies sub-exponential time deterministic PIT for depth circuits of individual degree. Thus, we remove the bounded individual degree condition in [DSY09] at the cost of strengthening the hardness assumption to hold for polynomials of low degree. As direct applications of our techniques, we also show that the complexity class VNP is closed under taking factors, thereby confirming a conjecture of Burgisser and get an alternate proof of the fact (first shown by Dutta et al.) that if a polynomial $Q$ of at most $d$ divides a polynomial $P$ computable by a formula of size $s$, then $Q$ has a formula of size at most poly$(s, d^{\log d}, deg(P))$.

研究动机与目标

• 研究诸如VNP和有界深度电路等复杂度类在取多项式因子时是否保持封闭。
• 确定低次多项式的超多项式下界是否能推出深度电路的次指数确定性多项式恒等式检测（PIT）算法。
• 解决Burgisser关于VNP在因式分解下封闭性的猜想。
• 通过新电路复杂度技术，提供多项式公式大小界的一种替代证明。

提出的方法

• 分析具有小深度电路和有界个体次数的多项式因子的结构。
• 应用电路复杂度技术，对深度-k电路中多项式的因子的深度和大小进行界定。
• 使用归纳法和复合论证，证明次数至多为 log^a n 的因子继承了小电路复杂度。
• 通过困难性-随机性权衡，建立电路下界与PIT归约之间的联系。
• 利用已知的公式大小界结果，推导出公式因子的新界。
• 与先前工作（特别是Dvir等人）相比，通过放弃有界个体次数假设，以更强的困难性假设为代价，改进了结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 复杂度类VNP在取多项式因子时是否保持封闭，正如Burgisser所猜想的那样？
• RQ2 低次多项式的超多项式下界是否能推出深度电路的次指数确定性PIT算法？
• RQ3 具有小深度电路的多项式的因子是否也具有小深度电路表示？
• RQ4 因子的大小和深度与原始多项式电路的大小和深度有何关系？
• RQ5 能否通过新的电路复杂度技术重新推导出因子的公式大小界？

主要发现

• 具有多项式大小深度-k电路的多项式，其次数至多为 log^a n 的因子，也具有大小为 poly(n)、深度至多为 O(k + a) 的电路。
• 复杂度类VNP在取因子时是封闭的，证实了Burgisser的猜想。
• 对显式低次多项式在深度-k电路中存在超多项式下界，意味着深度-k电路中PIT存在确定性的次指数时间算法。
• 本文提供了多项式公式大小界的一种替代证明，表明此类因子的大小至多为 poly(s, d^{log d}, deg(P)))。
• 与先前工作相比，本研究通过放弃困难性-随机性权衡中的有界个体次数条件，实现了改进，尽管需依赖更强的困难性假设。
• 研究结果在算术电路背景下，建立了电路下界与归约之间新的联系。