[论文解读] Some Cobweb Posets Digraphs' Elementary Properties and Questions

A. K. Kwaniewski|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2008

Advanced Graph Theory Research被引用 9

一句话总结

本文通过引入作为自然分级有向无环图（KoDAG）的扩展蛛网偏序集，将蛛网偏序集的理论进行了扩展，这些KoDAG由Ferrers维数为1的二分有向图通过自然连接构造而成。本文建立了用于计数完整蛛网偏序集和k元关系的组合公式，使用多项式系数和第二类Stirling数，关键结果包括有序划分和满射的数量。

ABSTRACT

A digraph that represents reasonably a scheduling problem should be a directed acyclic graph. Here down we shall deal with special kind of graded $DAGs$ named $KoDAGs$. For their definition and first primary properties see $ [1]$, where natural join of directed biparted graphs and their corresponding adjacency matrices is defined and then applied to investigate cobweb posets and their $Hasse$ digraphs called $KoDAGs$. In this report we extend the notion of cobweb poset while delivering some elementary consequences of the description and observations established in $[1]$.

研究动机与目标

• 将蛛网偏序集的理论从原始框架推广，引入作为自然分级KoDAG的扩展蛛网偏序集。
• 研究自然连接运算在关联结构的Levi图序列中的适用性。
• 基于层级大小和划分，推导计数完整蛛网偏序集和k元关系的组合公式。
• 探索顶点集有序划分上定义的偏序关系的结构与计数。
• 确定对应于给定大小N的k层蛛网偏序集的满射和有序划分的数量。

提出的方法

• 将扩展蛛网偏序集定义为Ferrers维数为1的二分有向图（双射图）$\stackrel{\rightarrow}{K_{k,k+1}}$的自然连接。
• 使用子图邻接矩阵上的自然连接运算$\oplus\!\to$构造完整的KoDAG邻接矩阵。
• 对二分有向图采用双邻接矩阵表示法，其中$B$为布尔矩阵，$A = \begin{pmatrix} 0 & B \\ B^T & 0 \end{pmatrix}$。
• 使用Kronecker积和矩阵几何级数将zeta矩阵建模为$\zeta = (1 - \mathbf{A}_F)^{-1\copyright}$。
• 使用多项式系数$\binom{N}{f_1, f_2, ..., f_k}$计数将大小为$N$的集合划分为$k$个大小为$f_r$的块的有序划分。
• 应用第二类Stirling数$\left\{N \atop k\right\}$及其与满射的关系，对k层蛛网偏序集进行计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将用于蛛网偏序集的自然连接运算扩展到关联结构的Levi图序列？
• RQ2 给定类型$\langle f_1, f_2, ..., f_k \rangle$且$N = \sum f_r$的完整蛛网偏序集的数量是多少？
• RQ3 大小为$N$且满足$|V_r| = f_r$的k层分级偏序集$P_N = \langle V, \leq \rangle$的数量是多少？
• RQ4 在大小为$N$的集合上，给定类型$\langle f_1, ..., f_k \rangle$的k元关系的总数是多少？
• RQ5 对于$k = 1, ..., N$，所有类型$\langle f_1, ..., f_k \rangle$的分级偏序集$P_N$的总数是多少？

主要发现

• 类型为$\langle f_1, f_2, ..., f_k \rangle$的完整蛛网偏序集的数量为$\binom{N}{f_1, f_2, ..., f_k}$，即多项式系数。
• 大小为$N$的k层完整蛛网偏序集的数量为$k! \left\{N \atop k\right\}$，等于从$N$元集到$k$元集的满射数量。
• 大小为$N$的完整蛛网偏序集的总数为$T_N = \sum_{k=1}^N k! \left\{N \atop k\right\}$，等于$N$元集的有序划分数量。
• 类型为$\langle f_1, ..., f_k \rangle$的k元关系的数量为$2^{f_1 f_2 \cdots f_k} - 1$，表示层级集笛卡尔积的所有非空子集。
• 所有大小为$N$的类型下k元关系的总数为$\sum_{\substack{f_1+\cdots+f_k=N \\ f_r > 0}} \left(2^{f_1 f_2 \cdots f_k} - 1\right)$。
• 以$F$为参数的蛛网偏序集的zeta矩阵由几何级数$\zeta = (1 - \mathbf{A}_F)^{-1\copyright}$给出，其中$\mathbf{A}_F$为Hasse矩阵。